用公式法解一元二次方程.docx

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用公式法解一元二次方程

【学习目标】

了解一元二次方程的含义．

初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(x－a)2＝b(b≥0)的方程．

初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程．

掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程．

【主体知识归纳】

整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．

一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx

叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．

直接开平方法 形如x2＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±

，即x＝ ，x

aa1 2

a

a

a＝－ ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

a

b b2?4ac

配方法 将一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋ )2＝ 的形式后，当b2－4ac≥

2a 4a2

0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．

b? b2?4ac公式法 用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a

b? b2?4ac

(b2－4ac≥0)，这

种解一元二次方程的方法叫做公式法．

【基础知识讲解】

一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2”．

一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的．例如，判断方程2x2＋2x－1＝2x2是否是一元二次方程？应先整理方程，得2x－1＝0，所以此方程不是一元二次方程．

在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2＋bx＋c＝0，再确

定所求．方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a＝0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件．

直接开平方法适用于解化为x2＝a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解；当a＜0时，方程没有实数解．

配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是负数时，方程无实数解．

求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公 式了．

【例题精讲】

例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2＋6＝3x(2x＋1)；(2)8x2＝x；(3)y3－y－1＝0；(4)4x2－3y＝0；(5)－x2＝0；(6)x(5x－1)＝x(x＋3)＋4x2．

剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：

①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．

解：(1)去括号，得5x2＋6＝6x2＋3x，移项、合并同类项，得x2＋3x－6＝0，

∴此方程是一元二次方程．

移项，得8x2－x＝0，∴此方程是一元二次方程．

因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程．(4)∵方程中含有两个未知数，

∴它不是一元二次方程．

(5)∵a＝－1≠0，

∴它是一元二次方程．

(6)整理，得4x＝0

∴它不是一元二次方程．

例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．

剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程．

解：(1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．

(2)整理