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第二章群的基本理论2.1;c)有唯一的单位元素.集合G;由定义可知基本性质：1、单位元;例2.置换群以变;Z3群由以下六元素构成：?;例3.矩阵群:;例4.?对称群;(2).有限群与无限群:指;3.群的具体例子(1)由实数;(8)设和对三维实空间中向量的;作业：试证明任何二阶群都是阿贝;对称操作旋转、反映、反演、象转;（3）对称性群：一个系统的所有;宜杠呜痉呢州懈咽伪蚊哆锐择裁能;例.正方形的对称性群（1）平面;：ABCD2?ABCD?：AB;：ABCDABCD：ABCDA;（2）运算举例1jABCD2?;（3）单位元：ABCD2?AB;Oxyfi(?)=Q;2.2群的乘法表;?v?v’C2C2v乘法表铀哼;f1f2f3f4f5f6f7f;例：平面正三角形对称群;（a）ABC23ABCBAB;说明：①n价的乘法是n×n的;重排定理群的每个元素在乘法表;群的生成元可由;由元素和生成一个群，只要求：。;2.3共轭元素和类共轭元素;共轭类群所有都相互共轭的元素;考虑R中的某元Ri，则上式左;类的积由群中包含个元素的类中;证明：因为所以，定理三一个;证、利用定理一，有对群中一切元;例：平面正三角形对称群，六个元;说明：（1）单位元和群本身;例:1）平面正三角形对称群;陪集说明：(1)如果是中的元素;陪集定理：;拉格朗日（Lagrang）定理;若中的某元素与中的某元素相同，;群的分分割方法：（1）不同;则必属于的同一左陪集。因为;有限群的任一元素的阶必定是此群;正规子群的性质不变子群。反过;例D3群中，不变子群;*为群乘而构成的群，称为群G对;2.5群的直积1.直积群的;如：6阶循环群;G的任一类例：讽爹阉廉殴囤咽柏;有可见直积群G的类由H的类和群;G的任一类例：涌东戴受眼故咏酞;2.6同构和同态1.群的同构;同构群的性质：1.反身性：与自;2.同态设由群G到群F,;例：四阶群与二阶群两者同态韵绷;例：C2{E，C2}是;同态核设群G与;1)对于同态核H中任意两个;对于同态核H中任意元素h和群;?(gi-1gjh)=?;例：1）任意群与单位元素构成的;2.7置换群和群结构1.置换;（2）置换群：一个包含;n次置换群Sn的阶是n!.定理;说明：一个2-循环置换群叫做对;奇置换：由奇数个对换所组成的置;（4）交代群群Sn中所有;（5）循环群若??G的每一;2.群结构n=;（1）若任意元素的阶为4,则得;n=6,有两种不同的群：;1.证明指数为2的每一个子群