2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析.docx

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析

（江南博哥）

1[单选题]

A.低阶无穷小

B.等价无穷小

C.高阶无穷小

D.同阶但非等价无穷小

正确答案：C

参考解析：

2[单选题]

A.连续且取得极大值

B.连续且取得极小值

C.可导且导数为零

D.可导且导数不为零

正确答案：D

参考解析：

函数f(x)在x=0处可导且导数不为零．

3[单选题]设函数f(x)=ax-blnx(a0)有2个零点，则b/a的取值范围是(??)．

A.(e，+∞)

B.(0，e)

C.

D.

正确答案：A

参考解析：

4[单选题]设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2Inx，则df(1，1)=(??)．

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

D.-dy

正确答案：C

参考解析：

5[单选题]二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(??)．

A.2，0

B.1，1

C.2，1

D.1，2

正确答案：B

参考解析：

所以A的特征值为-1，0，3，所以正惯性指数与负惯性指数依次为1，1．

6[单选题]设A=(α1，α2，α3，α4)为四阶正交矩阵，若矩阵

，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=(??)．

A.α2+α3+α4+kα1

B.α1+α3+α4+kα2

C.α1+α2+α4+kα3

D.α1+α2+α3+kα4

正确答案：D

参考解析：

因为A=(α1，α2，α3，α4)为四阶正交矩阵，所以α1，α2，α3，α4均为单位向量，且两两相交．显然r(B)=3，所以Bx=0的基础解系中只含有一个线性无关的解向量．

7[单选题]已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q可使得PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取(??)．

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

参考解析：

8[单选题]设A，B为随机事件，且0P(B)1，则下列命题中为假命题的是(??)．

A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|)=P(A)

B.若P(A|B)P(A)，则P(|)P()

C.若P(A|B)P(A|)，则P(A|B)P(A)

D.若P(A|A∪B)P(|A∪B)，则P(A)P(B)

正确答案：D

参考解析：

P(A|B)=P(A)A，B相互独立，所以P(A|)=P(A)，故A项正确；

P(A|B)P(A)中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而，也满足条件，所以

P(|)P(A)，故B项正确；

故D项不正确．

9[单选题]

A.

B.

C.

D.

正确答案：B

参考解析：

10[单选题]设总体x的概率分布为，利用来自总体X的样本观察值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为(??)．

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：

11[填空题]

参考解析：

【解析】

12[填空题]

参考解析：

6

【解析】

13[填空题]

设平面区域D由曲线y=sinπx(0≤x≤1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为________．

参考解析：

【解析】

14[填空题]

差分方程△yt=t的通解为yt=________．

参考解析：

（其中C为任意常数）

【解析】

因为，所以原方程可转化

为．该差分方程对应的齐次方程的通解为C(C为任意常数)．

设非齐次特解为，代入原方程可得

a(t+1)2+b(t+1)-(at2+bt)=t，即2at+a+b=t，解得a=，b=-，

15[填空题]

参考解析：

-5

【解析】

16[填空题]

甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为________．

参考解析：

【解析】

由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．

所以E(XY)=0.3，E(X)=E(Y)=0.5，D(X)=D(Y)=0.25，

17[简答题]

参考解析：

解：

18[简答题]

参考解析：

解：

19[简答题]

设有界区域D是圆x2+y2=1和直线y=x及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分

参考解析：

解：

20[简答题]

设n为正整数，y=yn(x)是微分方程xy-(n+1)y=0满足条件的解．

(I)求yn(x)；

(Ⅱ)

求级数的收敛域及和函数．

参考解析：

解：(I)

21[简答题]

设矩阵仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

参考解析：

解：

22[简答题]

在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为x，较长一段的长度记为y，并令Z=．

(I)求X的概率密