1.1.2等腰三角形的判定.docx

等腰三角形的判定

（2012?齐齐哈尔模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）

A．2种 B．3种 C．4种 D．6种

【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；压轴题．

【分析】①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．

【解答】解：有①②，①③，②④，③④，共4种，

①②，

理由是：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠EBO=∠DCO，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，

即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

①③，

理由是：∵在△EBO和△DCO中

，

∴△EBO≌△DCO，

∴∠EBO=∠DCO，

∵∠OBC=∠OCB（已证），

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，

即∠ABC=∠ACB，

即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

②④，

理由是：∵在△EBO和△DCO中

，

∴△EBO≌△DCO，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，

即∠ABC=∠ACB，

即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

③④，

理由是：∵在△EBO和△DCO中

，

∴△EBO≌△DCO，

∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，

即∠ABC=∠ACB，

即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

（2012?丹东）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有5个．

【考点】等腰三角形的判定；正方形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】分别以BP为腰B为顶点、以BP为腰P为顶点和以BP为底作三角形即可得到满足条件的Q的个数．

【解答】解：如右图所示，分以下情形：

（1）以BP为腰，P为顶点时：

以P为圆心，BP长为半径作圆，分别与正方形的边交于Q1，Q2，Q3．此时⊙P与CD边相切；

（2）以BP为腰，B为顶点时：

以B为圆心，BP长为半径作圆，与正方形的边交于Q4和Q1；

（3）以BP为底时：

作BP的垂直平分线交正方形的边于Q5和Q1．

综上所述，共有5个点，

故答案为5．

【点评】本题综合考查了等腰三角形、等边三角形、圆的切线、正方形等重要知识点，解决本题的关键是分三种情况讨论，只有这样才能不重不漏．注意△PBQ1是等边三角形，因此在上述三种情形中，均有一个点重合于BC边上的点Q1．

（2012?宜春模拟）如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△PAB为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）．

【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．

【专题】压轴题．

【分析】分以AB为底、AB为腰A为顶点、AB为腰B为顶点三种情况讨论即可．

【解答】解：①以AB为底边时，

作AB的垂直平分线交x轴于点P1，

则P1A=P1B

设点P的坐标为（a，0）

则a2+82=（6﹣a）2

解得：a=﹣

∴P1（﹣，0）

②当以AB为腰A为顶点时，

如图2，以A为圆心，以AB的长为半径作圆，交x轴于点P2，

此时OB=OP2，

故p2的坐标为（﹣6，0）

③以AB为腰B为顶点时，如图3，以B为圆心以BA的长为半径作圆交x轴于点P3和P4，

此时BP3=BP4=AB=10，

∴点P3的坐标为（16，0），点P4的坐标为（﹣4，0）

故答案为：（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能够分三种情况分类讨论是解题的关键．

（2011?海曙区模拟）线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个

直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰