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第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第02套解答

【第一题】（40分）

如图，我们有一个椭圆形的均匀轮子.半长轴和半短轴为,.质量密度为.轮子在一个

ab

波浪形的地面上滚动，惊人地发现椭圆的一个焦点始终保持同一水平高度y0不变.如图

初态椭圆静止，焦点在原点.长轴沿竖直方向.重力加速度g.

(1)求出地面的形状.

(2)求在滚动过程中，焦点F的最大速率.

解答：

（1）焦点始终在同一高度，表明焦点速度始终水平.即地面与椭圆切点始终在椭圆焦点正

xy

下方.如图，某时刻椭圆长轴与竖直方向的夹角为，此时切点记为,



b2

y，其中，ca2b2



accos

若此时椭圆转动d，则

b2

dxdd[1]



accos

b2csin

dydd[2]

2

accos

dycsin

则，[3]

dxacos

c

b2

又有y可得：

accos

22

yabdy

1[4]

ccdx

dyya2c

1



dxcb



根据初始条件：x0，yac得：

ya

xbarccos

c

x22x

yaccosaabcos[5]

bb

[1]-[3]各4分[4][5]共10分

（2）可知滚动过程中焦点离瞬心的距离在椭圆转过角度时最大，此时重力势能最低.可知

此时焦点F速率最大，