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华为杯数学建模C题

现在创新类竞赛很多，其中规模较大的竞赛，一般采用两阶段（网评、现场评审）或三阶段（网评、现场评审和答辩）评审。创新类竞赛的特点是没有标准答案，需要评审专家根据命题人（组）提出的评审框架（建议）独立评审。所以，对同一份作品，不同评委的评分可能存在较大差异。事实上，当竞赛规模大，评委的人数众多时，极差大的问题更为突出。显然，简单地依据多位评委评分的总和进行排序并不是创新类竞赛评审的好方案。因此，探讨大规模创新类竞赛评审方案的公正性、公平性和科学性具有深远意义。

问题一：在每个评审阶段，作品通常都是随机分发的，每份作品需要多位评委独立评审。为了增加不同评审专家所给成绩之间的可比性，不同专家评审的作品集合之间应有一些交集。但有的交集大了，则必然有交集小了，则可比性变弱。请针对3000支参赛队和125位评审专家，每份作品由5位专家评审的情况，建立数学模型确定最优的“交叉分发”方案，并讨论该方案的有关指标（自己定义）和实施细节。

目标是确定最优的“交叉分发”方案，以增加不同评审专家所给成绩之间的可比性。我们可以将这个问题建模为一个组合优化问题，通过数学建模和求解方法来找到最佳方案。

1.确定变量：

定义一个二元变量x(i,j)，其中i表示评审专家的编号，j表示作品的编号。这个变量表示第i位评审专家是否评审第j份作品。x(i,j)取值为1表示评审专家i评审了作品j，取值为0表示没有评审。

2.定义目标函数：

目标是最大化不同评审专家所给成绩之间的可比性，即最大化不同专家评审的作品集合之间的交集。因此，我们可以定义目标函数为：

Maximize:∑(i,j)x(i,j)

这个目标函数表示要最大化所有评审专家和作品之间的交叉评审数量。

3.添加约束条件：

限制每位评审专家最多评审k份作品：这可以表示为以下约束条件：

Subjectto:∑jx(i,j)=k，对所有i

这个约束条件确保每位评审专家不会超过最大评审作品数k。

每份作品需要被m位评审专家评审：这可以表示为以下约束条件：

Subjectto:∑ix(i,j)=m，对所有j

这个约束条件确保每份作品都会被m位评审专家评审。

二元变量约束：x(i,j)∈{0,1}

4.求解优化问题：

使用优化算法或数学规划工具来求解上述建立的优化问题。这些工具可以帮助找到最优的x(i,j)变量值，即最佳的“交叉分发”方案。

5.分析结果：

一旦求解完成，可以分析结果，确定哪些评审专家应该评审哪些作品，以最大程度上提高评审的可比性。

6.实施细节：

实际应用时，需要考虑评审专家的可用性、作品的特点、评审时间等实际因素。此外，可能需要进行多次实验和调整以优化方案。

它是一个整数线性规划问题（IntegerLinearProgramming,ILP），因为我们要求解的变量x(i,j)是二进制整数（0或1），并且我们要最大化一个线性目标函数。

importpulp

#创建线性规划问题

model=pulp.LpProblem(CrossDistribution,pulp.LpMaximize)

#定义评审专家数量和作品数量

num_experts=125

num_works=3000

#定义每位评审专家最多评审的作品数量和每份作品需要被评审的专家数量

k=20#最多评审的作品数量

m=5#每份作品需要被评审的专家数量

#创建二进制变量x(i,j)

x=pulp.LpVariable.dicts(x,((i,j)foriinrange(num_experts)forjinrange(num_works)),cat=Binary)

#定义目标函数：最大化交叉评审数量

model+=pulp.lpSum(x[i,j]foriinrange(num_experts)forjinrange(num_works))

#添加约束条件

#每位评审专家最多评审k份作品的约束

foriinrange(num_experts):

model+=pulp.lpSum(x[i,j]forjinrange(num_works))=k

#每份作品需要被评审m位专家的约束

forjinrange(num_works):

model+=pulp.lpSum(x[i,j]foriinrange(num_experts))==m

#求解线性规划问题

model.solve()

#打印结果

print(Status:,pulp.LpSta