多元正态分布(上).ppt

STA677.001第一章1.1多元分布的基础概念随机向量分布密度函数多元变量的独立性随机向量的数字特征多元正态分布复习：一元分布一、 一元随机变量与概率分布函数二、概率分布函数的类型三、随机变量的数字特征四、一些重要的一元分布:二项分布、泊松分布、正态分布五、随机变量的独立性随机向量随机向量:由多个随机变量组成的向量。n个样品，p个指标数据表：变量为列，样品为行。分布函数设随机向量其多元分布函数为记为X~F,分布函数的性质:①非降的右连续函数；②分布函数的取值范围为[0，1]，即0=F=1;③分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，密度函数设若存在一个非负函数f(.),使得对一切成立，则称X有分布密度f(.),并称X为连续型随机向量。性质：1.f(x)=0,对于任意x属于p维实数空间。2.多元向量的独立性两个随机向量X和Y是相互独立的，若P（X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)对一切x,y成立。若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y)分别为X和Y的分布函数，则X和Y独立当且仅当F(x,y)=G(x)H(y)若f(x,y)为(X,Y)’的密度函数，g(x)和h(y)分别为X和Y的分布密度，则X和Y独立当且仅当f(x,y)=g(x)h(y)注意：相互独立，可以推知任何与独立，但是，若已知任何与独立，并不能推出相互独立随机向量的数字特性随机向量的数字特征E(AX)=AE(X)E(AXB)=AE(X)BE(AX+B)=AE(X)+B协方差矩阵6)1.2统计距离和马氏距离多元正态分布**多元正态分布1、定义：设和分别为维和维随机向量，则其协方差矩阵为实对称阵，半正定2、性质1）若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)’相互独立。则若(x1,x2,…，xp)’的分量相互独立,则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即2）随机向量X的协方差矩阵?是非负定矩阵。3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则Var(AX+b)=AVar(X)A’；证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则4)、若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则5)、若(k1,k2,…，kp)是n个不全为零的常数，(x1,x2,…，xp)是相互独立的p维随机向量，则相关系数矩阵若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yq)’分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为随机向量的变换一、一元随机变量的变换设x具有概率密度函数fx(x)，函数y=?(x)严格单调，其反函数x=?(y)有连续导数，则y的概率密度函数为其中y的取值范围与x的取值范围相对应。例设随机变量x服从均匀分布U(0,1),即密度函数y的取值范围为(0,?),则二、多元随机向量的变换若(x1,x2,…,xp)’有密度函数f(x1,x2,…,xp),有函数组其逆变换存在则的概率密度函数为特别：若，其中为阶可逆常数矩阵，为维常数向量，则多元正态分布函数及其特征抽样分布****