1.2.2直角三角形的性质.docx

直角三角形的性质

（2011?六合区一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．

【考点】直角三角形的性质．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．

【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点．

（2011?河南模拟）已知Rt△ABC，AC=BC，点E、F在AB上，且∠ECF=45°，当AF?BE=36时，△ABC的面积为18．

【考点】直角三角形的性质；三角形的面积．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】由△ABC为等腰直角三角形可知∠A=∠B=45°，则∠CEB=∠A+∠ACE=45°+∠ACE，∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°，可证∠CEB=∠ACF，可证△ACF∽△BEC，利用对应边的比相等，可求AF?BE=AC?BC，再由直角三角形计算面积．

【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，

∴∠CEB=∠A+∠ACE=45°+∠ACE，∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°，

∴∠CEB=∠ACF，

∴△ACF∽△BEC，

∴=，即AF?BE=AC?BC=36，

∴△ABC的面积=AC?BC=×36=18．

故答案为：18．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是根据已知条件证明三角形相似．

（2011?庐江县校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=2，CD=1．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC?BE=2；④BF=2AC；⑤BE=DE．其中结论正确的个数有①③④⑤．

【考点】直角三角形的性质；角平分线的定义；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．

【专题】压轴题；推理填空题．

【分析】①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，进而得出AC的长，即可得出答案；

③当FC⊥AB时成立；

④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解；

⑤BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜边上的中线的性质判断．

【解答】解：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC．

故本选项正确；

②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，

∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，

过D做DG⊥AB，DG=CD=1，

又∵BD=2，

∴BG=，设AG=AC=x，

∴x2+32=（x+）2，

解得：x=，

∴DE：DA=DC：AC=1：，

故此选项错误；

③由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，

∴AC?BE=BD?DC=2．

故本选项正确；

④连接DM．

在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=2：1；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=2：1，

∴BF=2AC．

故本选项正确

⑤由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，

∵BD：DC=2：1，

∴DM∥AC，DM⊥BC，

∴∠MDA=∠DAC=∠DAM，而∠ADE=90°，

∴DM=MA=ME，在Rt△BDM中，由BM=2AM可知BE=EM，

∴ED=BE．故⑤正确．

综上所述，①③④⑤正确．

故答案为：①③④⑤．

【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，有一定难度．

（2007?荆州）如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为120度．

【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理．

【专题】压轴题．

【分析】如图，作BE⊥CD于E，根据题意，得在Rt△BCE中，BC=30+50=80，BE=40，由此可以推出∠BCE=30°，接着可以求出∠ODC=∠BCE=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠COD．

【解答】解：