三角形全等中的手拉手模型.docVIP

手拉手模型

知识目标

模块一

手拉手模型

例1、例2

难度：★★

模块二

手拉手模型与中点的结合

例3

难度：★★★

模块三

手拉手背景下的综合应用

例4、例5、例6

难度：★★★★

模块一：“手来手”模型

知识导航

手拉手的一般形式：

两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形

已知：△ABC，△DBE均为等腰三角形，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．

结论：△ABD≌△CBE

二、手拉手的特殊形式：

1．两个共直角顶点的等腰直角三角形

已知：△ABC，△DBE均为等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°

结论：△ABD≌△CBE

2．两个共顶点的等边三角形

已知：△ABC，△DBE均为等边三角形

结论：△ABD≌△CBE

例1：已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD与等边△BCE，AE交BD于F，连接CF，求证：

(1)BD＝AE；

(2)∠BFE＝60°；

(3)CF平分∠AFB．

练习：若【例1】中A、C、B三点不在一条直线上，如下图所示，其它条件不变，问上述三个结论是否成立？证明你的结论．

例2：（2016年武珞路八上其中第23题改编）如图：△ABD、△AEC中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，DC、BE相交于点M．

(1)求证：BE＝CD

(2)求证：CD⊥BE；

(3)求∠AMD的度数．

练习：（2015年洪山区八上期中第2问）

如图，已知直线AB交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)，且a，b满足|a＋b|＋(a＋4)＝0，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC，OD，CD，试判断△COD的形状，并说明理由．

拓展：如图，△ACD与△BCE为等腰三角形，其中CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝，BD、AE交于F．

(1)求证：AE＝BD

(2)求∠BFE＝∠AFC的度数．

模块二“手拉手”模型的应用

题型一：“手拉手”与中点的结合

例3已知如图△ACB与△CEF为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECF＝90°，AE，BF交于点O，M是AE中点，N是BF的中点，试判断△CMN的形状．

练习：已知△ABC，分别以AB，AC为边作△ABD和△ACD，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G，F分别是DC与BE的中点．

如图，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝_________．

(2)如图，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝_________．

(3)如图，若∠DAB＝，则试探究∠AFG与之间的关系．

模型三“手拉手”背景下的综合应用

例4（2016年武路八上其中第23题）

如图，设△ADC和△CBE都是等边三角形，连接AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数．

练习（2015年洪山区八上期中）

如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝65°，求∠AEB的度数．

例5（2014年江岸区八上期中第24题第（1）（2）问）如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，B(a，b)且a，b满足，D为y轴上移动点，以AD为边做等边△ADC，直线CB交y轴于点E．

(1)如图1，求A点的坐标

(2)如图2，D在y轴正半轴上，C在第二象限，CE的延长线交x轴于点M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点的坐标是否发生变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由．

例6（2016年武昌区八上期中）△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，

(1)如图，若OC＝5，求BD的长度

(2)设BD交x轴于点F，求证：∠OFA＝∠DFA．

(3)如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接DE，求DE的最小值．

练习：如图△ABC是直角三角形，记BC＝a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于点K，则四边形BDKH的面积为_________。(用含a的式子表示)

本讲课后作业

基础巩固

如图，等边△ABC，D是AB边上动点，以CD为边，向上作等边△EDC，连AE．

(1)求证：AE∥BC．

(2)若D点运动到BA延长线上，其它条件不变，是否仍有AE∥BC？

2．(1)如图1，△ABC和△ECD都是等边三角形，图中有一对全等三角形可以看成是旋转变换得到的，它们是_________________；

(2)在(1)中，将△ECD绕C点任意旋转一个角度得如图2，分别取AD、BE的中点M、N，连接MN、MC、NC，请判断△MCN的形状，并证明你的结论．

3．（2015年汉阳区八上期