6.2.3向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.pptx

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算课时3向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.（数学抽象）2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.（数学运算）3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.（逻辑推理）新课导入1.向量的加法运算：①三角形法则：首尾相接，首指向尾②平行四边形法则：起点相同，对角为和2.向量的减法运算：共起点，连终点，指被减向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？新知讲解?问题1我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和，并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化?这些变化与那些因素有关?CB新知讲解如图，。类比数的乘法，我们把记作，即。显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的倍，即?OAPQMN新知讲解?类似的，。我们把记作，即。显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的倍，即概念生成?一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。?长度：方向：当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，?注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由与决定；2.实数和向量可以相乘，但不能相加减新知讲解问题2向量数乘运算的几何意义是什么?????因为向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由与决定；?如图是把向量沿的方向或的反方向伸长或压缩倍。新知讲解问题3数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？请同学们以小组的形式用举例子的方式解释下列三个联系，并且能够总结出相应的运算规律。?设，是实数，那么有（1）(2)(3)概念生成?向量数乘的运算律：设，是实数，那么有(1)结合律：(2)分配律：①②?特别地，我们有新知讲解向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。推广：对于任意向量,以及对于任意实数，恒有?例题讲解?例5：计算向量的数乘运算公式???例题讲解?例5：计算向量的数乘运算公式例题讲解例6：如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且,，用，表示?向量的拆拆凑凑CD?MBA??解：在中，由平行四边形的两条对角线互相平分，得例题讲解?例6：如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且,，用，表示CD?向量的拆拆凑凑MBA?1用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.一、用已知向量表示其他向量?1.[2022年新高考全国Ⅰ卷]（1）在m/m中，点m/m在边m/m上，m/m.记m/m，m/m，则m/m().?A.m/mB.m/mC.m/mD.m/m?2.在m/m中，若点m/m满足m/m，则m/m().A.m/m B.m/m C.m/m D.m/m?向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，记作。??（1）当时，的方向与的方向相同；（2）当时，的方向与的方向相反；（3）当时，（若，也成立）与这两个是共线的?新知讲解问题4：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？?与这两个向量是共线的新知讲解实数与向量的积与原向量共线?事实上，对于向量（≠），，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线．反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当同方向时，有；当反方向时，有概念生成?向量共线定理：向量（≠）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使?根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．例题讲解?例7.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量,,,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。?例题讲解?解：分别作向量,,，过点，作直线观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线．事实上，因为;所以，，因此，，，三点共线，?例题讲解?例8.如图,已知，是两个不共线的向量，共线，求实数的值。例题讲解?解：由，不共线，易知为非零向量。由向量，共线可知，存在实数，使得,即.由，不共线，必有,否则，不妨设，则由两个向量共线的充要条件可知，，会共线，与已知矛盾。由，解得因此，当向量，共线时，向量共线的判定及应用?1.设m/m，m/m是不共线的两个向量.?（1）若m/m，m/m，m/m，求证：m/m，m/m，m/m三点共线.?（2