2007年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析) (1).doc

2007年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题6.证明题

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若，则()

A．

B．

C．2

D．4

正确答案：B

解析：

2．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1—cosx的高阶无穷小，则正整数n等于()

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：C

解析：由已知，则n＜4；又sinnx是1-cosx的高阶无穷小，即，则n＞2，所以n=3，选C

3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0的实根个数为()

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：C

解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根．

4．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则∫f’(2x)dx=()

A．cos4x+C

B．

C．2cos4x+C

D．sin4x+C

正确答案：A

解析：根据原函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=-4sin2x，f’(2x)=-4sin2x，所以∫f’(2x)dx=∫-4sin4xdx=cos4x+C

5．设f(x)=∫1x2sint2dt，则f’(x)=()

A．sinx4

B．2xsinx2

C．2xcosx2

D．2xsinx4

正确答案：D

解析：利用变上限积分求导法则，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．

6．下列级数收敛的是()

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：选项A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度).B项用比较法通项发散．对于C，由于不存在，根据定义可知该级数发散，可排除．D项，根据莱布尼兹判别法，ab=，an≥0，an单调下降，且，收敛，故此级数条件收敛．

填空题

7．设函数在点x=0处连续，则常数k=_______

正确答案：ln2

解析：由连续的定义，所以k=ln2．

8．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m=_______

正确答案：1

解析：由已知，切线斜率k=y’=2x+3=5，解得x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程y=5x+m，解得m=1．

9．定积分的值为_______

正确答案：2π

解析：根据定积分的对称性，原积分变为：【注】定积分利用定积分几何意义求，表示所围图形的面积．

10．已知a，b均为单位向量，且a.b=，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为_______

正确答案：

解析：根据向量叉积，以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为S=｜a｜.｜b｜sinθ=a.b，由已知，｜a｜=1，｜b｜=1，a.b=｜a｜.｜b｜cosθ=，所以cosθ=，可得sinθ=，可得平行四边形面积为a.b=｜a｜.｜b｜sinθ=．

11．设z=，则全微分dz=_______

正确答案：

解析：

12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为______

正确答案：y”-5y’+6y=0

解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3y，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ-2)(λ-3)=0，即λ2-5λ+6=0，所以对应微分方程为y”-5y’+6y=0．

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

13．求极限

正确答案：原式=【注】本题先用等价无穷小量替换后用洛比达法则，使式子简便．

14．设函数y=y(x)由方程ex-ey=xy确定，求

正确答案：根据隐函数求导，方程两边分别对x求导，得ex-eyy’=yy’，又x=0时，y=0，所以对方程ex-ey.y’=yy’两边再对x求导，得，ex—ey(y’)2-eyy”=y’+y’+xy”．把x=0，y=0，y’(0)=1代入得，

15．求不定积分∫x2e-xdx．

正确答案：用分部积分法∫x2e-xdx=-∫x2d(e-x)=-x2e-x+2∫xe-xdx=-x2e-x-2∫xd(e-x)=-x2e-x-2xe-x+2∫e-xdx=-x2e-x—2xe-x-2e-x+

C．