专题26：事件的独立性、频率与概率（5知识点+6题型） (解析版)-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）.docx

专题26：事件的独立性、频率和概率（5知识点+6题型）

事件的独立性、频率和概率

事件的独立性、频率和概率

题型六：随机数的产生与模拟

随机数的产生及模拟应用

频率与概率

相互独立事件的概率计算公式

判断事件是否相互独立的方法

相互独立事件

题型一：独立事件的判断

题型二：独立事件的概率计算

题型三：相互独立事件与互斥事件

题型四：独立事件的综合应用

题型五：辨析频率与概率的关系金和频率与概率的计算

知识点一：相互独立事件

（1）定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

（2）性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立.

（3）两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则

知识点二：判断事件是否相互独立的方法

（1）直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断.

（2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：

①用恰当的字母表示题中有关事件；

②根据题设条件，分析事件间的关系；

③将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；

④利用乘法公式计算概率．

知识点三：相互独立事件的概率计算公式

已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有

事件

表示

概率

A，B同时发生

P(A)P(B)

A，B都不发生

A，B恰有一个发生

A，B中至少有一个发生

A，B中至多有一个发生

知识点四：频率与概率

（1）频率的稳定性

大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率.

（2）频率的求法

频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率.

（3）频率和概率区别和联系

区别：

①在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率.

②概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.

③频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性.

联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率.

知识点五：随机数的产生及模拟应用

（1）随机数的产生

①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n.

②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌.

③摸取：从中摸出一个.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.

（2）产生随机数的常用方法

①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.

（3）随机模拟方法(蒙特卡洛方法)

利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，

这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.

题型一：独立事件的判断

解题思路：（1）直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断.

（2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：

①用恰当的字母表示题中有关事件；

②根据题设条件，分析事件间的关系；

③将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；

④利用乘法公式计算概率．

例1．盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（????）

A．与相互独立 B．与相互独立

C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】D

【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可.

【详解】依题意得，，，故A项错误；

，，故B项错误；

，故C项错误；

，，故D项正确.

故选：D.

例2．有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（????）．

A．甲与