北京市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题.docxVIP

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北京市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数在复平面内所对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量，，且，那么（????）

A． B． C． D．

3．在中，若，则（????）

A．1 B． C．2 D．

4．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（????）

A． B． C． D．

5．设、表示两条不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（????）．

A．，，则 B．，，则

C．，，则 D．，，则

6．在中，若，则的形状一定是（????）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

7．已知平面，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．在正方体中，M是的中点，N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

9．已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

10．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（????）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为

C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为

二、填空题

11．若复数，则．

12．已知向量，则.

13．已知，，则与的夹角为．

14．直三棱柱中，，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是.

15．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是.

16．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：

①；

②；

③直线与底面所成角的正弦值为；

④面积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

??

(1)求证：；

(2)求证：平面；

18．如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数.(结论不要求证明)

19．如图所示，D为外一点，且，，

????

(1)求sin∠ACD的值；

(2)求BD的长.

20．在中，．

(1)求；

(2)求的最大值．

(3)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

21．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.

①任意中有三个，一个3；

②存在，使中恰有三个数相等.

(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）

(2)是否存在数表由生成？说明理由；

(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.

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参考答案：

1．A

【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断.

【详解】由题意知，，

所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

2．C

【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】解：因为，，且，

所以，解得.

故选：C

3．A

【分析】由题意可得，再由正弦定理即可得到结果.

【详解】因为，所以，

由正弦定理可得.

故选:A

4．C

【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.

【详解】根据题意：

又

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.

5．D

【详解】A选项中命题是真命题，，，可以推出；

B选项中命题是真命题，，，可得出；

C选项中命题是真命题，，，，利用线面垂直的性质得到；

D选项中命题是假命题，因为两直线平行或异面．

故选D．

6．B

【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以，所以三角形是直角三角形.

故选：B