湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）.docxVIP

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湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，且是纯虚数，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知，平面向量，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

4．已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（）

A． B． C． D．1

5．赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（????）

??

A．， B．， C．， D．，

6．一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（????）

A． B． C． D．

7．已知，，，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

8．已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面，则该八面体的体积为（????）

A．28 B．32 C．36 D．40

二、多选题

9．若随机变量服从标准正态分布，，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知，，则函数的单调区间有（????）

A． B． C． D．

11．已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为.

13．在中，，，，则的面积为.

14．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为.

四、解答题

15．已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项，

(1)求的值，并求数列的通项公式：

(2)若，求使成立的正整数n的最小值．

16．如图，在三棱锥中，，，为中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，，且，求二面角的大小．

17．已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；

(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.

18．已知函数，，函数，有两条不同的公切线（与，均相切的直线），.

(1)求实数的取值范围；

(2)记，在轴上的截距分别为，，证明：.

19．五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.

(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；

(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；

(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有

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参考答案：

1．C

【分析】求得集合，可求.

【详解】由，可得，所以集合，

由，可得，所以，

所以.

故选:C.

2．B

【分析】设，其中，是实数，由求出，再求出，根据的类型求出，即可得到，最后根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】设，其中，是实数，则由，得，

所以，则，

又因为是纯虚数，所以，解得，即，

所以.

故选：B

3．A

【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可.

【详解】易知

,故

，当时，最小，

此时由二次函数性质得，故，

故的最小值为