2011年广东专插本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析).docVIP

2011年广东专插本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．下列极限运算中，正确的是()

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

2．若函数在χ=0处连续，则a=()

A．-ln2

B．ln2

C．2

D．χ2

正确答案：B

3．已知f(χ)的二阶导数存在，且f(2)=1，f?(2)=0，则χ=2是函数F(χ)=(χ-2)2f(χ)的()

A．极大值点

B．最小值点

C．极小值点

D．最大值点

正确答案：C

4．已知()

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：D

5．已知，则fy(0，0)=()

A．-1

B．0

C．1

D．2

正确答案：A

填空题

6．当χ→0时，是等价无穷小，则常数k=____。

正确答案：8

7．设=_______。

正确答案：-1

8．已知f(χ)在(-∞，+∞)内连续，且f，则f?(χ)=______。

正确答案：2f(χ)

9．已知二元函数=______。

正确答案：0

10．设平面区域D由直线y=χ，y=2χ及χ=1所围成，则二重积分=______。

正确答案：1

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．计算。

正确答案：

12．已知函数f(χ)的n-2阶导数f(n-2)(χ)=，求f(χ)的n阶导数。

正确答案：

13．求曲线f(χ)=χ-arctankχ(k＜0)的凹凸区间和拐点。

正确答案：函数f(χ)=χ-arctankχ的定义域为(-∞，+∞)；令f?(χ)=0，解得χ=0，列表讨论如下(k＜0)：拐点是(0，0)，f(χ)征(-∞，0)是凹的，在(0，+∞)是凸的。

14．计算不定积分∫eχsinχdχ。

正确答案：

15．计算定积分。

正确答案：

16．求微分方程y?+2y?-8y=0满足初始条件的特解。

正确答案：微分方程的特征方程为：r2+2r-8=0；解得：r1=-4，r2=2，∴微分方程的通解为：y=C1e-4χ+C2e2χ。y?=-4C1e-4χ+2C2e?，∴有y｜χ=0=C1+C2=5，y?｜χ=0=-4C1+2C2=-2，解之得：C1=2，C2=3，故特解为：y=2e-4χ+3e2χ。

17．已知隐函数z=f(χ，y)由方程e-χy=yz+χ2y=1所确定，求。

正确答案：设F(χ，y，z)=e-χz-yz+χ2y-1，则Fχ=-ze-χy+2χy，Fy=-zyz-1+χ2，Fz=-χe-χz-yzlny，

18．已知直角坐标系下二重积分，试用极坐标法计算二重积分。

正确答案：画出积分区域D，可知积分区域是在第一象限的四分之一圆，则：

综合题

过坐标原点作曲线y=eχ的切线l，切线l与曲线y=eχ及y轴围成的平面图形记为G。求：

19．切线l的方程；

正确答案：设切点的坐标为(χ0，y0)，则y0=eχ0，y?=eχ，∴切线l的方程为：y-y0=eχ0(χ-χ0)，即y-e0=e0(χ-χ0)，又因该切线经过原点，故0-eχ0=eχ0(0-χ0)，解之得χ0=1，∴切点为(1，e)，故切线方程为y=eχ。

20．G的面积；

正确答案：

21．G绕χ轴旋转所得旋转体体积。

正确答案：

若定义在区间(0，π)的可导函数y=f(χ)满足χ.y?=(χ.cotχ-1).y，且，求：

22．函数y=f(χ)的表达式；

正确答案：由z.y?=(χ.cotχ-1).y可得，两边积分得：lny=lnsinχ-lnχ+C2，化简得，又，解之得C=1，∴函数y=f(χ)的表达式为。

23．证明：函数y=f(χ)在区间(0，π)内单调递减。

正确答案：，设g(χ)=χcosχ-sinχ，g?(χ)=cosχ-χsinχ-cosχ=-χsinχ，因sinχ在(0，π)区间内恒大于0，故g?(χ)在区间(0，π)内恒为负，∴函数y=f(χ)在区间(0，π)内单调递减。