6.4-6.5平行与垂直（重难点突破）解析版.pdf

突破6.4－6.5平行与垂直

【知识点一、平行线的定义及画法】

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

特别说明：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平

行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于

上述任何一种位置关系．

2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

【知识点二、基本事实】

基本事实1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

基本事实2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

特别说明：

(1)“经过直线外一点”，而非直线上的点；

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一；

(3)基本事实2也称之为平行的传递性.

【知识点三、垂线的定义及画法】

垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直

线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

特别说明：

(1)记法：直线a与b垂直，记作：a^b；

直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

判定

ÐAOC=90°ˆˆˆˆ†CD⊥AB．

‡ˆˆˆˆ

性质

垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边

和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线

就为已知直线的垂线(如图所示)．

特别说明：

(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，

也可能在线段的延长线上．

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

【知识点四、垂线的性质及距离问题】

垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．

特别说明：

（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的

存在性和唯一性．

（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和

直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问

题．

点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

特别说明：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

(一)平行与垂直的位置关系

18lllllllll∥l∥llll

例．有条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这

12345678123456

8条直线的交点个数最多有（）

A．21个B．22个C．23个D．24个

C

【答案】

llllll610l66l

【分析】首先可得、、、、、这条直线最多有个交点，