新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题08数列学生版.docVIP

专题08数列

易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）

1、等差数列的定义

（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

（2）符号语言：(，为常数)．

2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．

3、通项公式与前n项和公式

（1）通项公式：．

（2）前项和公式：．

（3）等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．

②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.

已知数列是等差数列，是其前项和．

1、等差数列通项公式的性质：

（1）通项公式的推广：．

（2）若，则．

（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．

（4）若是等差数列，则也是等差数列．

2、等差数列前项和的性质

（1）；

（2）；

（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.

（4）数列，，，…构成等差数列．

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

（1）若项数为，则，；

（2）若项数为，则，，，.

最值问题：解决此类问题有两种思路：

一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；

二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可

易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.

例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.

变式1．数列是等差数列，，．

(1)从第几项开始有？

(2)求此数列的前项和的最大值．

变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求的最小值．

变式3．等差数列，，公差．

(1)求通项公式和前项和公式；

(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．

1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（????）

A．20 B．17 C．19 D．21

2．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（????）

A．15 B．750 C． D．

4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（????）

A．2021 B．2022 C．4042 D．4043

5．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（?????）.

A． B．

C． D．与均为的最大值

6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27

7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（????）

A．是为等差数列的充要条件

B．可能为等比数列

C．若，，则为递增数列

D．若，则中，，最大

8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（????）

A．是等差数列 B．

C． D．有最大值

9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（????）

A．是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．

11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．

易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）

1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。

数学语言表达式：(，为非零常数)．

2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.

注意：同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前n项和公式

（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；

通项公式的推广：.

（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.

已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）

1、等比数列的基本性质

（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.

（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．

（3）若，则有

口诀：角标和相等，项的积也相等推广：

（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。

（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。

易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中