线性代数解析及例题.docVIP

PAGE

PAGE16

第一章n阶行列式

§1二阶与三阶行列式

解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为

=a11a22-a12a21，(1-

=a11a22a33+a12a23a

-a13a22a31-a11a23a32-a1２a2

其中元素aij的两个下标i与j分别表示aij所在的行与列的序数.

我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.

定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).

有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n级排列的总数是n(n-1)(n-2)·…·2·1=n!，读为“n阶乘”.

显然12…n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.

定义2在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与

大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.

一个排列j1j2…jn的逆序数，一般记为τ(j1j2…jn).

排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即τ(213)=1.进一步我们有以下定义.

定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列.

现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律：

(1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.

(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)式右端各项可写成，这里j1j2j3是1、2、3的一个三级排列，当j1j2j3为偶排列时，项前面的符号为正，当j1j2j3为奇排列时，项前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中J=τ（j1j2j3）为排列j1j2j3的逆序数.从而(1-2)式可写为

，

表示对全体三级排列求和.

例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.

(1)42531，（2）135…（2n-1）246…(2n).

解（1）对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即

0+1+0+2+4=7

故排列42531的逆序数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排列.

(2)同理可得：

τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=.

所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.

§2n阶行列式

定义4n阶行列式



等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

（1-3）

的代数和，这里j1j2…jn是1，2，…，n的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j1j2…jn是偶排列时，（1-3）带有正号，当j1j2…jn是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成

，(1.4)

这里表示对所有n级排列求和.

例2计算四阶行列式

.

解根据定义，D是4!=24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计