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第六章圆
6.1圆的基本性质
一、课标解读
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;
2.探索并证明垂径定理;
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论;
二、知识点回顾
知识点1.圆的有关概念及性质
1.圆的概念:在同一个平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.
定义;圆是所有到定点的距离等于①定长的点的集合.
2.弦、直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最长的弦.
圆上任意两点间的部分叫做弧,弧有优弧、劣弧、半圆之分.
3.圆心角:顶点在圆心,两边都与圆相交的角.
圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角.
4.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆;
等弧:在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧
知识点2.垂径定理及其推论
定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识点3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
推论:(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.
知识点3.圆周角定理及其推论
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径;
三、热点训练
热点1:垂径定理定理及其推论
一练基础
12021··O5AB8CABOCOC
.(广东花都二模)如图,⊙的半径为,弦=,点是的中点,连接,则的长为
()
A.1B.2C.3D.4
C
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推论,勾股定理即可求得OC的长
【详解】
QOA=OB点C是AB的中点,
QO5AB8
⊙的半径为,弦=,
1
\OC^AB,AC=BC=AB=4
2
在Rt△AOC中
OC=AO2-AC2=3
故选C
【点睛】
本题考查了垂径定理,勾股定理,掌握垂径定理是解题的关键.
22021··“
.(广西玉林中考真题)学习圆的性质后,小铭与小熹就讨论起来,小铭说:被直径平分的弦也与
”“”
直径垂直,小熹说:用反例就能说明这是假命题.下列判断正确的是()
A.两人说的都对
B.小铭说的对,小熹说的反例不存在
C.两人说的都不对
D.小铭说的不对,小熹说的反例存在
D
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂径定理可直接进行排除选项.
【详解】
“”
解:由垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧可知:
“”
小铭忽略了垂径定理中的弦不能是直径这一条件,因为一个圆中的任意两条直径都互相平分,但不垂直,
所以小铭说法错误,小熹所说的反例即为两条直径的情况下;
D
故选.
【点睛】
本题主要考查垂径定理,熟练掌握垂径定理是解题的关键.
32021··
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