新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题12概率学生版.docVIP

专题12概率

易错点一：互斥与对立混淆致误（随机事件的概率）

Ⅰ：首先明确什么是随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．

随机试验的要求：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确的，结果不止一种；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一种，但事先不能确定出现哪一种结果．

Ⅱ：随机事件的前提样本空间

我们把随机试验的每个可能出现的结果称为样本点，全体样本集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．

Ⅲ：两类事件：随机事件、确定事件

（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．

（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．

（3）在每次试验中都不可能发生，我们称为不可能事件．

（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为随机事件的确定事件．

注意：事件的运算可以用韦恩图可以破解

Ⅳ：互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：

如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．

（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．

（3）互斥事件与对立事件的关系（重点）

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．

Ⅴ：概率与频率

（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．

随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.

解题步骤如下：

第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；

第三步：分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；

第四步：利用公式求出事件的概率．

易错提醒：对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一个重要的指导思想

例、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1~10）中，任取一张．

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

变式1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（????）

A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”

B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”

C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”

D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”

变式2．设A，B是两个随机事件，，分别为A，B的对立事件．给出以下命题：①若A，B为互斥事件，且，，则；②若，，且，则A，B相互独立；③若，，且，则A，B相互独立；④若，，且，则A，B相互独立．其中所有真命题的序号为（????）

A．① B．② C．①②③ D．②③④

变式3．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（????）

A．A?D B．B∩D＝

C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D

1．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方