北京市大兴精华学校2023-2024学年高三下学期5月高考适应性考试数学试卷.docx

2023-2024学年高考适应性测试

数学

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知为纯虚数，则实数（）

A.0 B.1 C. D.

2.若集合，，则（）

A. B. C. D.

3.已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（）

A. B. C. D.

4.下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（）

A. B. C. D.

5.已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（）

A.1 B. C.2 D.

6.在的展开式中，x的系数为（）

A.9 B.15 C. D.

7.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）

A.是最小正周期为的偶函数 B.点是的对称中心

C.在区间上的最大值为 D.在区间上单调递减

8.已知直线与圆，则“，直线l与圆C有公共点”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴共有（）

A.14条 B.13条 C.9条 D.7条

10.已知函数，则下列命题不正确的是（）

A.当时，有唯一极小值 B.存在定直线始终与曲线相切

C.存在实数a，使为增函数 D.存在实数a，使为减函数

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知，若，则______.

12.双曲线的焦点坐标是______.

13.已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为______.

14.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被2除余数为1，被3除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为______.

15.在棱长为6的正方体中，E为棱上一动点，且不与端点重合，F，G分别为，的中点，给出下列四个结论：

①平面平面；

②平面可能经过的三等分点；

③在线段上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得平面；

④若E为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的面积.

17.（本小题14分）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）.

图（1）图（2）

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.

条件①：平面平面；

条件②：.

18.（本小题13分）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：

若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率：

用电量

中奖率

50%

50%

（Ⅰ）在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率；

（Ⅱ）在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望；

（Ⅲ）以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明）

19.（本小题15分）已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若，求曲线与曲线的交点个数.

20.（本小题15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程及其焦点坐标；

（Ⅱ）若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标.

21.（本小题15分）已知整数，数列A：，，…，是递增的整数数列，即，，…，且.定义数列A的“相邻数列”为B：，，…，，其中，，或（，3，…，）.

（Ⅰ）已知，数列A：2，4，6，8，写出A的所有“相邻数列”；

（Ⅱ）已知，数列A：，，…，是递