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突破6.4-6.5平行与垂直
【知识点一、平行线的定义及画法】
1.定义:在同一平面内,的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b.
特别说明:
(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;
(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段并不意味着它们就
平行.
(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,直线视为一条直线,不属
于上述任何一种位置关系.
2.平行线的画法:
用直尺和三角板作平行线的步骤:
①:用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②:用直尺紧靠三角板一条直角边.
③:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④:沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
【知识点二、基本事实】
基本事实1、经过直线外一点,有且只有直线与这条直线平行.
基本事实2、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线.
特别说明:
(1)“经过直线外一点”,而非直线上的点;
(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一;
(3)基本事实2也称之为平行的传递性.
【知识点三、垂线的定义及画法】
垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是时,就说这两条直线互相垂直,其中一
条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫.
特别说明:
(1)记法:直线a与b垂直,记作:a^b;
直线AB和CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O.
(2)垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:
判定
ÐAOC=90°ˆˆˆˆ†CD⊥AB.
‡ˆˆˆˆ
性质
垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边
和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线
就为已知直线的垂线(如图所示).
特别说明:
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,
也可能在线段的延长线上.
(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.
【知识点四、垂线的性质及距离问题】
垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,最短.简单说成:垂线段最短.
特别说明:
(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的
存在性和唯一性.
(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和
直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问
题.
点到直线的距离:
定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做.
特别说明:
(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;
(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.
(一)平行与垂直的位置关系
18lllllllll∥l∥llll
例.有条不同的直线(、、、、、、、),其中,、、交于同一点,则这
12345678123456
8条直线的交点个数最多有()
A.21个
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