2025版高考数学一轮总复习知识梳理第10章计数原理概率随机变量及其分布第4讲事件的独立性条件概率与全概率公式.docVIP

第四讲事件的独立性、条件概率与全概率公式

知识梳理

知识点一事件的相互独立性

设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事件A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)都相互独立．

注：“相互独立”与“事件互斥”的区别．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．

知识点二条件概率

1．定义：设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

2．求法：P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?)＝eq\f(P?AB?,P?A?).

3．乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．

4．性质：

(1)0≤P(B|A)≤1；

(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

知识点三全概率公式

一般地，设A1，A2，A3，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2,3，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我们称此公式为全概率公式．

*贝叶斯公式：

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意事件B?Ω，P(B)0，有P(Ai|B)＝eq\f(P?AiB?,P?B?)＝eq\f(P?Ai?P?B|Ai?,\i\su(k＝1,n,P)?Ak?P?B|Ak?)，i＝1,2，…，n.

归纳拓展

1．事件的表示

(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B.

(2)A、B都发生的事件为AB.

(3)A、B都不发生的事件为eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).

(4)A、B恰有一个发生的事件为(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\x\to(A)B)．

(5)A、B至多有一个发生的事件为(eq\x\to(A)B)∪(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))．

2．一般结论

(1)若事件A，B，C两两相互独立，则P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；

(2)P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)；

(3)若P(A)0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)；

(4)若A、B相互独立，则①A、B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．

P(A＋B)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))．

②A、B恰有一个发生的概率P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)

(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)

(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√)

(4)抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则A与B独立．(√)

题组二走进教材

2．(多选题)(选择性必修3P48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是(BCD)

A．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为eq\f(3,10)

B．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为eq\f(1,2)

C．若有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为eq\f(18,125)

D．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为eq\f(54,125)

[解析]第一次摸到红球的概率为eq\f(3,5)，故A错误；不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故B正确；有放回的摸球3次，则仅有前