经济数学微积分十二五规划方案教材微积分基本公式习题.docVIP

1．设函数，求，。

【解】由题设得，

于是得，。

2．计算下列各导数：

⑴；

【解】由于是复合函数，中间变量是，得

。

⑵；

【解】由于变量在下限，应将它变形为变量在上限定积分才可套用微积分基本定理

。

⑶；

【解】由于为上下限均带变量定积分，应运用可加性将它分拆为两个变量在上限定积分才可套用微积分基本定理

。

⑷。

【解】

。

3．设函数由方程所拟定，求。

【解法一】方程中完毕积分即为，

亦即为，得知，

解出，得，

于是得。

【解法二】在方程两边对求导，注意到，得

即得，

亦即，解出，得，

方程中完毕积分即为，

亦即为，得知，

再将代入中，

得。

4．设，，求。

【解】问题是由参数方程求导

【解法一】。

【解法二】。

5．求下列极限：

⑴；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

。

⑵；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

----应用洛必达法则

----再次应用洛必达法则

。

⑶；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

----应用洛必达法则

----完毕求导

----整顿

。

⑷。

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

----应用洛必达法则

----完毕求导

----分子分母同消去

----再次应用洛必达法则

----分子分母同消去

。

6．当为什么值时，函数有极值。

【解】由给定函数可见，其定义域为，

由于，可得有唯一驻点，无不可导点，

显见，当时，，当时，，

可知，函数在点处获得极小值。

7．计算下列定积分：

⑴；

【解】。

⑵；

【解】

。

⑶；

【解】。

⑷；

【解】

。

⑸；

【解】

。

⑹；

【解】。

⑺；

【解】。

⑻；

【解】。

⑼；

【解】

。

⑽；

【解】

。

⑾；

【解】

。

⑿，其中。

【解】

。

8．设，求在上表达式，并讨论在内持续性。

【解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，

，

当时，

，

于是，，

由于初等函数在内持续，初等函数在内持续，故要讨论在内持续性，仅须讨论在处持续性，

由于，，

且，

可知在处持续，

从而，在内持续。

9．设，求在内表达式。

【解】当时，，

当时，，

当时，

，

于是得。

10．设，求。

【解】对等号两端在区间上积分，注意为常数，

得

即有，

移项，整顿即得。

11．已知，求。

【解】问题在于求出和，可应用上题办法，

对等号两端在区间上积分，注意和均为常数，

得

即有，

移项、整顿得，将其代入题目已知式，得

，

，

再对上式等号两端在区间上积分，得

即有

移项、整顿得，

最后得。

12．设（），求。

【解】由题设，得，且

于是又得，

从而有

，

这时有，

代入，得，即，

得到。

13．设持续，若满足，求。

【解】设，则，，

于是，，

再由题设，得，

即得，

两边求导得，

即有，

从而，

？？？？

14．设函数在区间上持续，在内可导且，

，

证明：在内有。

【证明】任取，则由题设有，函数在区间上持续，在内可导且，

那么对于函数，

有

，

令，则由已知在内可导且，

得恒成立，

可知，在上单调递减，

由于，

得知在上成立，

从而在上成立。

再因任意性，知在内有。证毕。