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数数学学悖悖论论与与三三次次数数学学危危机机

数学悖论与三次数学危机

什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上是合理的，但结果却得出了⽭盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的⽭盾命题：由它的真，可

以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的⼀个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这⼀悖论涉及⾯

⼗分⼴泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发⼈们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产⽣。按照西⽅习惯的说

法，在数学发展史上迄今为⽌出现了三次这样的数学危机。

希希帕帕索索斯斯悖悖论论与与第第⼀⼀次次数数学学危危机机

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧⽒⼏何中最著名的定理之⼀。天⽂学家开普勒曾称其为欧⽒⼏何两颗璀

璨的明珠之⼀。它在数学与⼈类的实践活动中有着极其⼴泛的应⽤，同时也是⼈类最早认识到的平⾯⼏何定理之⼀。在我国，最早的⼀部天⽂数学著作《周髀算经》中就

已有了关于这⼀定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。⼀直到三国时期的赵爽才⽤⾯积割补给出它的第⼀种证明。

在国外，最早给出这⼀定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因⽽国外⼀般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据

说毕达哥拉斯在完成这⼀定理证明后欣喜若狂，⽽杀⽜百只以⽰庆贺。因此这⼀定理还⼜获得了⼀个带神秘⾊彩

的称号：“百⽜定理”。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创⽴了⼀个合政治、学术、宗教三位⼀体的

神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基⽯。⽽“⼀切数均可

表成整数或整数之⽐”则是这⼀学派的数学信仰。然⽽，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建⽴的毕达哥拉斯定理却成

了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓⼈”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的⼀个成员希帕索斯考虑了⼀个问

题：边长为1的正⽅形其对⾓线长度是多少呢？他发现这⼀长度既不能⽤整数，也不能⽤分数表⽰，⽽只能⽤⼀个

新数来表⽰。希帕索斯的发现导致了数学史上第⼀个⽆理数√2的诞⽣。⼩⼩√2的出现，却在当时的数学界掀起了

⼀场巨⼤风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之⼤为恐慌。实际上，这⼀伟⼤

发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊⼈的观念这都是⼀个极⼤的冲击。这⼀结论的悖

论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表⽰成有理数。这不但在希腊当时是⼈们

普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经⾼度发展时，这个断⾔也毫⽆例外是正确的！可是为我们的经验所

确信的，完全符合常识的论断居然被⼩⼩的√2的存在⽽推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直

把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，⾯对这⼀荒谬⼈们竟然毫⽆办法。这就在当时直接导致了⼈们认

识上的危机，从⽽导致了西⽅数学史上⼀场⼤的风波，史称“第⼀次数学危机”。

欧多克索斯

⼆百年后，⼤约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建⽴起⼀套完整的⽐例论。他本⼈的著作已失传，他

的成果被保存在欧⼏⾥德《⼏何原本》⼀书第五篇中。欧多克索斯的巧妙⽅法可以避开⽆理数这⼀“逻辑上的丑

闻”，并保留住与之相关的⼀些结论，从⽽解决了由⽆理数出现⽽引起的数学危机。但欧多克索斯的解决⽅式，是

借助⼏何⽅法，通过避免直接出现⽆理数⽽实现的。这就⽣硬地把数和量肢解开来。在这种解决⽅案下，对⽆理

数的使⽤只有在⼏何中是允许的，合法的，在代数中就是⾮法的，不合逻辑的。或者说⽆理数只被当作是附在⼏

何量上的单纯符号，⽽不被当作真正的数。⼀直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是⽆理数时，拥护

⽆理数存在的⼈才多起来。到⼗九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建⽴起来后，⽆理数本质被彻底搞清，⽆

理数在数学园地中才真正扎下了根。⽆理数在数学中合法地位的确⽴，⼀⽅⾯使⼈类对数的认识从有理数拓展到

实数，另⼀⽅⾯也真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机。

贝贝克克莱莱悖悖论论与与第第⼆⼆次次数数学学危危机机

第⼆次数学危机导源于微积分⼯具的使⽤。伴随着⼈们科学理论与实践认识的提⾼，⼗七世纪⼏乎在同⼀时

期，微积分这⼀锐利⽆⽐的数学⼯具为⽜顿、莱布尼兹各⾃