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数学史上的三次数学危机的成因分析

330001南昌市洪城学校江西南昌

【摘要】①公元前580～568年之间，希帕索斯发现了第一个无理数，促使了第一次数学危机的发生。而后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危机的发生。而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。③十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理系统，使得集合论得到了发展。

【关键词】危机；无理数；无穷小；罗素悖论

数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。

1第一次数学危机及成因

1.1危机介绍

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识必威体育官网网址，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

1.2危机成因分析

毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。

2第二次数学危机及成因

2.1第二次危机介绍

2.2危机成因分析

第二次数学危机的产物——分析基础理论的严密化与集合论的创立。“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。法国数学家柯西是数学分析的集大成者，通过《分析教程》（1821）、《无穷小计算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作，柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系。但柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“e—d”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。“e—d”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数；等等。这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。

3第三次数学危机及成因

3.1危机介绍

第三次数学危机发生在1902年。罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有RR，那么从集合的角度就有RR.一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切RR的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这