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数学史上的三次危机

学号：200875000309姓名：伏兆虎班级：地环学院地科3班

摘要：数学被认为是最严谨的科学，但在漫长的数学发展史上却出现了三次危机。由于无理数的发现引发了数学史上的第一次危机；微积分创立后，对无穷小量的理解引发了数学史上的第二次危机；集合论创立后，罗素提出的悖论引发了数学史上的第三次危机。数学在不断的克服危机中获得巨大发展。

关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论

数学发展的主要动力是人类的社会实践活动，在实践和探索的过程中，发现数学中存在的问题进而寻找方法解决问题，从而取得跨越式发展。无疑数学史上的三次危机对推动数学的发展有着特殊的意义。

第一次数学危机

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识必威体育官网网址，所有发明创造都归于学派领袖。

(一)、危机的起源

毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了2这个无理数。这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。

（二）、危机的解决

由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。大约到了公元前370年，这个矛盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧妙的处理了。但这个问题直到19世纪的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决了。

（三）、对数学发展的意义

第一次危机的产生最大的意义是导致了无理数地产生，打破了长时间的禁锢数学发展的枷锁。这次数学危机也使整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了，在以后的一两千年中，几何支撑了数学的发展。同时危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命。

第二次数学危机

18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。

（一）、危机的起源

因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生【2】。

（二）、危机的解决

为了解决第二次数学危机，数学家们开始在严格化基础上重建微积分，其中贡献最大的是法国数学家柯西，他在《分析教程》和《无穷小计算讲义》中给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如：他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性。后来，魏尔斯特拉斯及其追随者们实现了分析的算术化。至此，数学史上的第二次危机已经克服，数学的整个结构已被恢复【3】。

（三）、对数学发展的意义

牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论虽然存在一定的缺陷，但微积分仍然很受重视，被广泛地应用于物理学、力学、天文学中。危机爆发后，经过柯西等人的不懈努力，严格的极限理论建立起来了，为微积分奠定了理论基础。微积分理论的建立在数学史上有深远的意义。一方面它消除了微积分长期以来的神秘性，使数学以及其他科学冲破了宗教的束缚，为以后的独立发展创造了条件；另一方面，微积分理论基础的建立加速了微积分的发展，产生了复变函数、实变函数、微分方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科，形成了庞大的分析体系，成为数学的重要分支【4】。

第三次数学危机

到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。

（一）、危机的起源

康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身出现了矛盾。这就