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对数学的浅思

数学是什么，就必须从数学的起源说起。数学无所不在，人们从自然界获得经验进行严格地“数学加工”（高度抽象的思维加工，使之概念明确，推理严格，整体内容无矛盾），形成了数学。数学不仅仅是纯粹的数学理论知识，而是一种文化。正如著名数学家罗素说：“数学如果正确地看待它，则发现它只有至高无上的美，一种冷色而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，但它可以纯净到崇高的地步，只有伟大的艺术才能显示那种完美的境地；一种真实喜悦的精神，一种精神的亢奋，一种高于普通人的意识，这些至善至美的标准，能在诗里得到，也能在数学里得到。数学具有一种至高无上的美，它是一种文化，也是一门自然科学。”

学习数学，不仅仅学习数学理论知识，还要理解数学的思想文化，更要去欣赏数学纯净崇高至真至善的美。数学是科学家、经济学家和工程师的有用工具，也是至美的自然科学。

于2013年12月

数学史上的三次数学危机

第一次数学危机

时间：公元前4世纪人物：毕达哥拉斯、希帕苏斯地点：古希腊

毕达哥拉斯是泰勒斯的传人，生于希腊东部萨摩斯岛，曾求学于泰勒斯门下，游历过埃及和巴比伦。毕达哥拉斯在意大利南部的克伦吞成立了一个秘密组织，该组织是一个集科学、宗教、哲学于一体的帮会性学术团体，后人称之为毕达哥拉斯学派。该学派纪律严明，主要有两条：一是一切服从与毕达哥拉斯，二是一切发明都不得私自外出传。毕达哥拉斯后来在政治斗争中被杀，但其组织团体却存在了两个世纪多久，但是其数学贡献是不朽的。

毕达哥拉斯学派在数学上的信条为“万物皆数”，他们所说的数为正整数和正分数。认为10是最完美的，因为10=1+2+3+4，称1、2、3、4为“四象”。

约公元前470年毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯考虑边长为1的正方形对角线长度，根据勾股定理对角线长l应满足l2=2,什么样的数l它的平方是2呢？显然l不是整数，由此人们揭穿了毕达哥拉斯“万物皆数”的数只是整数和分数是不成立的。毕达哥拉斯的绝对权威受到严重的挑战，一方面已证明单位正方形对角线的长不是整数和分数，按毕达哥拉斯学派的观点这条对角线的长度就不是数，这当然是不能接受的；另一方面，毕达哥拉斯学派对数的根深蒂的认识又不肯承认自己的观点有问题，于是一时间陷入了极大的矛盾之中，这就是

第一次数学危机之后，承认了除整数和分数外，对这种存在的怪实数接受得很不情愿，于是起了个难听的名字：无理数。

第二次数学危机

时间：17世纪前半叶人物：牛顿、莱布尼茨、伯克莱地点：欧洲

1734年英国哲学家牧师伯克莱发表了《致一位不信神的科学家》。不信神的科学家指帮助牛顿出版《自然哲学的数学原理》的哈雷，主要矛头指向牛顿的流数法，对莱布尼茨的微积分也同样的竭力非难。由于牛顿和莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是无穷小的混乱遭到了伯克莱的非难，例如伯克莱的言论片段：

“一次推导任意次幂的流数的方法如下：设x均匀流动。欲求xn的流数与x通过流动变为x+o的同时，幂xn编成（

xn+noxn-1+nn-n2ooxn-2+＆c而增量o与noxn-1+nn-n2ooxn-2+＆c之比为1：nxn-1+nn-n2oxn-2+＆c现在假设增量消失最终之比为1：

由“贝克莱悖论”对牛顿、莱布尼茨的微积分引起的非难，牛顿和莱布尼茨也不能自圆其说，引发了数学史上耸人听闻的第二次数学危机。第二次数学危机激发了18世纪、19世纪的众多数学家为微积分的完善做出了出色的工作。微积分基础的日臻完善，排除了第二次数学危机。

第三次数学危机

时间：19世纪后半叶代表人物：康托尔、罗素地点：欧洲

康托尔是俄国数学家。1871年，他给出集合的第一个定义且引入点集的极限点、闭集、开集、交集、并集等概念。1874年，康托尔证明了代数集与有理数集的可数性和实数集的不可数性。。1878年，他引入了集合“势”的概念，且证明了Cantor尘集与实数集等势且不可数，但其测量度为零。1883年，他证明了“Cantor定理”一个集合与它的幂集间不可能建立一一对应，幂集的势大于原集合的势。1887年，他证明了一条直线上的点与平面上的点乃至N维空间中的点一一对应。开始连他自己开始感到疑惑，当然，康托尔还是相信自己严格证明出的理论是真的，他雄辩地证明无穷集合不在遵守有穷集合的很多规则。它的一一对应的原理突破了传统的“整体大于部分”的旧观念，例如正整数与全体偶数一一对应，正整数集与偶数集等势，相当于传统上的“个数相等”。康托尔的集合论现在称为朴素集合论。康托尔在创立完集合论之后，他自己已经觉察到朴素集合论在逻辑上要出事儿，可惜他本人没来得及建立一套公理系统给出集合论以明确无暇的概念和理论。

1902年，罗素发表了理发师悖论