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数学史上的三次数学危机的成因分析

330001南昌市洪城学校江西南昌雷玲玲

【摘要】①公元前580～568年之间，2第二次数学危机及成因元素，就有RR，那么从集合的角度就有R

希帕索斯发现了第一个无理数，促使了第一2.1第二次危机介绍R.一个集合真包含它自己，这样的集合显然

次数学危机的发生。而后，在几何学中引进第二次数学危机发生在十七世纪。十七是不存在的。因为既要R有异于R的元素，

了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论又要R与R是相同的，这显然是不可能的。

②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，

穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖

机的发生。而后，柯西提出极限理论，使微料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，论中所定义的一切RR的集合，就应该是一

积分更完善。③十九世纪下半叶，罗素悖论阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，

的提出，促使了第三次数学危机的发生。而后，分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱这就是同类事物包含所有的同类事物，必会

弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分引出最大的这类事物。归根结底，R也就是

系统，使得集合论得到了发展。的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，包含一切集合的“最大的集合”了。因此可

【关键词】危机；无理数；无穷小；罗第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否

素悖论无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小定形式陈述的最大集合悖论。

量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到3.2危机成因分析

数学，绝对不是只有加、减、乘、除那所要的公式，在力学和几何学的应用证明了第三次数学危机的产物——数理逻辑的

样简单的运算而已。它是一个早从“石器时这些公式是正确的，但它的数学推导过程却发展与一批现代数学的产生。为了解决第三

代”就开始发展的一段历史，是一个演变和在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零次数学危机，数学家们作了不同的努力。由

提升的过程。悖论历史悠久，它的出现，本还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途

来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数

末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义

悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于系统地发展了极限理论。学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直

哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危2.2危机成因分析觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学

机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大第二次数学危机的产物——分析基础理派。这三大学派的形成与发展，把数学基础

注意。本文试图对悖论的定义、成因以及由论的严密化与集合论的创立。“贝克莱悖论”理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的

于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以提出以后，许多著名数学家从各种不同的角数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和

简要分析。度进行研究、探索，试图把微