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专题18直角三角形

广东数学中考中，直角三角形相关知识是解决几何题的重要工具，一般在较为综合的试题中体现，考查难度有简单，也有中等偏上难度的题，常考知识有：直角三角形的相关性质定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°这些特殊角的直角三角形，更加是热门出题方向。结合近些年的中考情况，在复习这一板块的知识时，需要熟练掌握直角三角形的各种性质与判定方法，同时学会构造含特殊角的直角三角形解决问题。

一．直角三角形的性质与判定

性质

直角三角形的两个锐角互余

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半

判定

有一个角是90°的三角形时直角三角形

有两个角互余的三角形是直角三角形

1．如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（????）

A． B． C． D．

2．在中，，，则（??????）

A． B． C． D．

3．对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（????）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④

4．如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（????）

A．3 B．5 C．6 D．7

5．如图，在中，，是斜边上的中线，若，的长为（????）

A．6 B．5 C．3 D．1.5

6．如图，在中，是高，是角平分线，交于点F，，求的度数．

7．满足下列条件的，不是直角三角形的是（????）

A． B． C． D．

8．如图，一架3m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（??????）

A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小

9．如图，在中，，，，将其沿折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长是（????）

A．12 B．10 C．8 D．6

10．如图，在中，，，是边的中点，在边上，若，则的长为______．

11．如图，在中，，是边上的中线，．若，求的长．

二．勾股定理及其逆定理

勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理逆定理

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数

常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数

1．在中，已知其中两直角边长，，那么斜边c的长为（）

A．3 B．4 C． D．

2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（????）

A．14 B．34 C．58 D．72

3．《九章算术》中有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为尺，则下列方程中正确的是（????）

A． B．

C． D．

4．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

5．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是___________．

6．有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．

7．如图，已知中，，是上一点，且，．

(1)求证：是直角三角形；

(2)求的长．

勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。

8．下列各数是勾股数的是（???）

A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6

9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为______米．

10．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格上．于点D，则__________．

11．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是______

12．如图，在中，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若，则图中阴影部分的面积为___________．

13．如图，一块四边形的空地，，的长为，的长为，的长为，的长为．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？

14．如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，

(1)求点与之间的距离；

(2)求的度数．

考向三：勾股定理与弦图、拼图

勾股定理与弦图：

牵涉到弦图时，所用的直角三