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数学悖论与三次数学危机

○舒昌勇

有一则中国古代寓言，说的是某卖兵器的商人到集市卖长矛和盾

牌。他扬起长矛大声吆喝：“卖长矛啊！我的长矛无比锋利，任何盾牌

都能戳穿！”待了一会，他又擎起盾牌吆喝：“卖盾牌啊！我的盾牌无比

坚硬，任何长矛都能抵挡！”这时，围观的人群中有人问：“如果用你的

长矛去戳你的盾牌，能戳穿吗？”

初中生朋友熟知的这则寓言引出了我们今天的话题———数学悖

论。悖论，本来是一个逻辑学名词，指自相矛盾的断言。数学悖论，是

指数学的某个理论中按相关的法则推导出的矛盾的断言。它让人困

惑，也给人兴趣，更启人深思。让你意想不到的是：以下三个数学悖论

分别引发了科学史上震撼数学大厦的三次数学危机。

无理数悖论：正方形的对角线没有长度

这一悖论是公元前世纪古希腊毕达哥拉斯学派的成员希帕索

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斯提出的。当时，毕达哥拉斯学派在探索宇宙奥秘时认为，宇宙间万

事万物的规律都能用整数或整数的比（分数）表示出来，即所谓“万物

皆数”。他们用这种观点去研究直角三角形三边的关系，发现222。

a+b=c

40

其中、为直角边，为斜边。、、之比

abcabc

为整数比。这就是著名的勾股定理。可是希

帕索斯用这个定理研究等腰直角三角形

（正方形的一半，如图）时却出了问题，因

1

2

为由22222cc2。就是说，他发现正方

a=b圯a+b=c圯2a=c圯2=2圯=姨

aa

形一边长与对角线长之比不是整数或整数比，而是一个很奇怪的即与

已有理论不符的数。因为按“万物皆数”的“数”只是整数和分数的观

点，它是不应该存在的（这就等于说，正方形的对角线没有长度）。所

以姨2的发现，使数只能是整数和整数比这一观点能否站得住脚成

了问题，因而产生了数学史上第一次数学危机。当然，这次危机最终

被数学家巧妙地解除了：他们在几何学中允许正方形对角线长这样的

几何量存在，但在代数学中避免姨2这样的数出现。

见克莱悖论：无穷小量是零又不是零

这一悖论是英国著名的唯心主义哲学家贝克莱大主教提出的。他

不是数学家，却一针见血地指出了、世纪在科学和生产实践中都

1718

获得了广泛应用的微积分理论的漏洞。微积分的思想我们早已有过体

验：为求圆的面积，我们把画在硬纸板上的圆分成若干等分，剪开后用

这些近似等腰三角形的小纸片拼成如图的“近似”长方形。随着分

2

成的小纸片数越来越多，每个小纸片就越来越小，它们的面积之和就

越来越接近长方形的实际面积，因而得出圆的面积