中考数学三轮冲刺专题02 新知识学习型新定义问题之求函数的特殊点（解析版）.doc

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专题02新知识学习型新定义问题之求函数的特殊点

（解析版）

通用的解题思路：

先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个字，就是：先翻译、再联立。

①联立之后若得到含参数的一元一次方程ax=bSKIPIF10

②联立之后若得到含参数的一元二次方程SKIPIF10，首选十字相乘，其次韦达定理，最次公式法。

1.（中考真题）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．

【解答】解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m＝2，∵点P（2，2）在反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上，∴n＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵“梦之点”满足的解析式为y＝x，如果函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”，

联立得：x＝3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x＝1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x＝；

当3k﹣1＝0，1﹣s＝0，即k＝，s＝1时，x有无穷多解；当3k﹣1＝0，1﹣s≠0，即k＝，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k＝，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+1，x2＝ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1＝0，ax22+（b﹣1）x2+1＝0，

∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1＝0的两个不等实根，∴x1+x2＝，x1?x2＝，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝（）2﹣4?＝＝4，

∴b2﹣2b＝4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2，∴t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2﹣2+＝（2a+1）2+．

∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1?x2＜8，∴﹣8＜＜8，

∵a＞0，∴a＞，∴（2a+1）2+＞+＝，∴t＞．

2．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．

①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．

（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．

（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．

【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．

故答案为：√，√，×．

（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），

代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，

∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，

综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．

（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，

解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，

∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，

∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜