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第十讲最值问题1

第十讲最值问题

单线段最值题型一：垂线段最短

1．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O

于点Q，则PQ的最小值为（）

A．5B．13C．2D．3

√√

【解答】解：过点O作直线l的垂线，垂足为P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接

OQ，此时PQ为最小，

∴OP＝3，OQ＝2，

∵PQ切⊙O于点Q，

∴∠OQP＝90°，

22

由勾股定理得：PQ=√3−2=5，

√

则PQ的最小值为5，

√

故选：A．

2．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE

⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．

【解答】解：连接PC．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，

∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形ECFP是矩形，

∴EF＝PC，

∴当PC最小时，EF也最小，

即当CP⊥AB时，PC最小，

∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

11

∴AC•BC=AB•PC，

22

12

∴PC=．

5

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2第十讲最值问题

12

∴线段EF长的最小值为；

5

12

故答案是：．

5

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，

BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运

动变化的过程中，有下列结论：

①AE＝CF；

②EF最大值为2√2；

③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为2．

√

其中结论正确的有（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

【解答】解：如图，连接CD．

∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵D是AB的中点，

∴CD＝AD＝BD，∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵ED⊥FD，

∴∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△ADE和△CDF中，

{∠=∠=45°，

=

∠1=∠3

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF；

故①正确；

（2）设CE＝x，则CF＝AE＝4﹣x，

222

在Rt△CEF中，=+(4−)=2(−2)+8，

√√

2

∵2（x﹣2）+8有最小值，最小值为8，

∴EF有最小值，最小值为22．

√

故②错误；

③由①知，△ADE≌△CDF，

∴S＝S+S＝S+S＝S，

四边形EDFC△EDC△FDC△EDC△ADE△ADC

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．

故③正