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中考数学几何一题多解--获奖作品
中考数学几何一题多解--获奖作品
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中考数学几何一题多解--获奖作品
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中考几何母题的一题多解 (多变)
一、三角形一题多解
如图:已知AB=AC,E是AC延伸线上一点,且有 BF=CE,连结
FE交BC于D。求证:FD=DE。
证法一
证明:过E点作EM∥AB交DC延伸线于M点,则∠M=∠B,又
由于∠ACB=∠B
ACB=∠ECM=∠M,因此CE=EM,又EC=BF进而
EM=BF,∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过E点作EM∥AB交DC延伸线于M点,则∠M=∠B,又由于∠ACB=
B
∠ACB=∠ECM=∠M,因此CE=EM, 又EC=BF 进而EM=BF,∠BFD=
DEM
则△DBF≌△DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过F点作FM∥AE,交BD于点M,
则∠1=∠2=∠B 因此BF=FM,
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又 ∠4=∠3 ∠5=∠E
因此△DMF≌△DCE,故FD=DE。
二、平行四边形一题多解
如图4,平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线
AB上,且AE=BF=AB,求证:DF⊥CE.
证法一、易知 ADF、BCE为等腰三角形,故∠1=∠F,∠2=∠E,又CD∥AB,
故∠3=∠F,∠4=∠E,进而∠1=∠3,∠2=∠4,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800,故
∠3+∠4=900,表示∠COD=900,因此DF⊥CE。
证法二、如图5,连结MN,则CD=BF,且CD∥BF,故BFCD
为平行四边形,则 CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM
且CN∥DM,得平行四边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN
也是菱形,依据菱形的对角线相互垂直,结论建立。
证法三、如图6,连结BM、AN,可证 AFN中,BN=BF=BA,
则AFN为直角三角形,即 DF⊥AN,利用中位线定理可知 AN∥
CE,故DF⊥CE。
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证法四、如图7,作DG∥CE交AE延伸线于G,则EG=CD=AB=AE,故
AD=AG=AF,进而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE
四一题多解、多变《四边形面积》
如下图,一个长为a,宽为b的矩形,两个暗影都是长为c的矩形与平行四边形,则暗影部分面积是多少。
解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行变换。
(a-c)(b-c)
图2
解法二
重叠面积为c的平方,大矩形面积为 ab,小矩形为ac,平行四边形为bc,暗影
面积为ab-ac-bc+cc=(a-c)(b-c)
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2如下图一个长为 500dm宽为300dm的花坛要修两条过道,两条过道同样宽,
花坛面积1340平方米,求过道宽。
方法一:将大矩形进行平移将平行四边形进行变换。
解:1500-80x=1340
X=2
过道宽两米。
图2
方法二:
解:(300-x)(500-x)=1340
X=2
过道宽两米
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五正方形一题多变
1已知正方形ABCD,
EOF=90`,O是对角
Al
D
线交点,点E
F在BC,CD上,求证EO=FO
o
证明
四边形ABCD是正方形
BO=CF
k
F
BOC=-90
OBE=
COF又
EOF=90`
B
m
C
E
BOE=
COF
△BOE≌△COF
EO=FO
变式一
已知正方形ABCD,
EOF=90`,O是对角线交点,
A
D
点EF在BC,CD边延伸线上
,求证EO=FO
O
证明
四边形ABCD是正方形
BO=CF
BOC=-90
OBE=
COF又
EOF=90`
E
B
C
BOE=COF
△BOE≌△COF
EO=FO
F
变式二
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