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中考数学几何一题多解--获奖作品

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中考数学几何一题多解--获奖作品

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中考几何母题的一题多解 (多变)

一、三角形一题多解

如图:已知AB=AC,E是AC延伸线上一点,且有 BF=CE,连结

FE交BC于D。求证:FD=DE。

证法一

证明:过E点作EM∥AB交DC延伸线于M点,则∠M=∠B,又

由于∠ACB=∠B

ACB=∠ECM=∠M,因此CE=EM,又EC=BF进而

EM=BF,∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME,故 FD=DE;

证法二

证明:过E点作EM∥AB交DC延伸线于M点,则∠M=∠B,又由于∠ACB=

B

∠ACB=∠ECM=∠M,因此CE=EM, 又EC=BF 进而EM=BF,∠BFD=

DEM

则△DBF≌△DME,故 FD=DE;

证法二

证明:过F点作FM∥AE,交BD于点M,

则∠1=∠2=∠B 因此BF=FM,

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又 ∠4=∠3 ∠5=∠E

因此△DMF≌△DCE,故FD=DE。

二、平行四边形一题多解

如图4,平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线

AB上,且AE=BF=AB,求证:DF⊥CE.

证法一、易知 ADF、BCE为等腰三角形,故∠1=∠F,∠2=∠E,又CD∥AB,

故∠3=∠F,∠4=∠E,进而∠1=∠3,∠2=∠4,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800,故

∠3+∠4=900,表示∠COD=900,因此DF⊥CE。

证法二、如图5,连结MN,则CD=BF,且CD∥BF,故BFCD

为平行四边形,则 CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM

且CN∥DM,得平行四边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN

也是菱形,依据菱形的对角线相互垂直,结论建立。

证法三、如图6,连结BM、AN,可证 AFN中,BN=BF=BA,

则AFN为直角三角形,即 DF⊥AN,利用中位线定理可知 AN∥

CE,故DF⊥CE。

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证法四、如图7,作DG∥CE交AE延伸线于G,则EG=CD=AB=AE,故

AD=AG=AF,进而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE

四一题多解、多变《四边形面积》

如下图,一个长为a,宽为b的矩形,两个暗影都是长为c的矩形与平行四边形,则暗影部分面积是多少。

解法一

将大矩形进行平移将平行四边形

进行变换。

(a-c)(b-c)

图2

解法二

重叠面积为c的平方,大矩形面积为 ab,小矩形为ac,平行四边形为bc,暗影

面积为ab-ac-bc+cc=(a-c)(b-c)

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2如下图一个长为 500dm宽为300dm的花坛要修两条过道,两条过道同样宽,

花坛面积1340平方米,求过道宽。

方法一:将大矩形进行平移将平行四边形进行变换。

解:1500-80x=1340

X=2

过道宽两米。

图2

方法二:

解:(300-x)(500-x)=1340

X=2

过道宽两米

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五正方形一题多变

1已知正方形ABCD,

EOF=90`,O是对角

Al

D

线交点,点E

F在BC,CD上,求证EO=FO

o

证明

四边形ABCD是正方形

BO=CF

k

F

BOC=-90

OBE=

COF又

EOF=90`

B

m

C

E

BOE=

COF

△BOE≌△COF

EO=FO

变式一

已知正方形ABCD,

EOF=90`,O是对角线交点,

A

D

点EF在BC,CD边延伸线上

,求证EO=FO

O

证明

四边形ABCD是正方形

BO=CF

BOC=-90

OBE=

COF又

EOF=90`

E

B

C

BOE=COF

△BOE≌△COF

EO=FO

F

变式二

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