高中数学不等式知识点总结.docVIP

不等式

高考题型：选择，填空，与函数结合出大题，证明出大题。

分类：绝对不等式：恒成立的不等式

相对不等式：在一定条件下成立的不等式

一不等式的基本性质（举例法）

注意;1）等式是否可逆2）有条件的，不能强还或弱化条件

①（对称性）②（传递性）

③（可加性）

（同向可加性）（异向可减性）

④（可积性）1）2）

⑤（同向正数可乘性）

（异向正数可除性）

⑥（平方法则）⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

灵活记忆：且

例题：

1.若-1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是（）

A.-2＜α-β＜0B.-2＜α-β＜-1

C.-1＜α-β＜0D.-1＜α-β＜1

2.a＞b”成立的充要条件是________________.

3.若＜0，则下列结论不正确的是（）

A.a2＜b2B.ab＜b2C.＞2D.|a|+|b|＞|a+b|

二、几个重要不等式

①重要不等式：,（当且仅当时等号成立）.变形公式：

②基本不等式：,（当且仅当时等号成立）.

变形公式：

利用基本不等式求最值：

（1）x,y∈R+,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值

（2）x,y∈R+

即：和定，积最大；积定，和最小。应用基本不等式的条件：

（1）、一正：各项为正数；

（2）、二正：“和”或“积”为定值；

（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④（当且仅当时取到等号）.

⑤（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）

⑦，（其中

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧绝对值三角不等式

例题（1）已知x2，求x+4

已知0x2，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值

求函数y=4

已知x0，y0，且x+y=1，求

三、几个著名不等式

①平均不等式：，，当且仅当时取号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

②幂平均不等式：

③柯西不等式的三角形式：

借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。

④二维形式的柯西不等式：

当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

等号成立条件

⑥一般形式的柯西不等式：

等号成立条件

⑦若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凹（或凸）函数.

例题：已知2x2+3y2≤6,求证：x+2y≤√11

四、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式成立.该方法的思路是“由因导果”；

分析法：从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,该方法的思路是“执果索因”

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

=1\*GB3①舍去或加上一些项，如

=2\*GB3②将分子或分母放大（缩小），如

等.

例题：1.已知正数a，b，求证：ab+ba≥a+

2.求证：1+11×2+11×2×3+…+11×2×3…×n

3.已知a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于14。（反证法

4.已知a、b、x、y∈R+且,x＞y.求证:.（比较法）

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴⑵

⑶⑷

⑸

9、指数不等式的解法：根据指数函数的单调性

⑴当时,⑵当时,

10、对数不等式的解法：根据对数函数的单调性

⑴当时,

⑵当时,

11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：⑵平方法：

⑶同解变形法，关键是去掉绝对值的符号

①②

③④

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、