专题18 导数及其应用小题综合（解析版）.docx

专题18导数及其应用小题综合

冲刺秘籍

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八大常用函数的求导公式

（为常数）

；例：，，，

，，

，，

导数的四则运算

和的导数：

差的导数：

积的导数：（前导后不导前不导后导）

商的导数：，

复合函数的求导公式

函数中，设（内函数），则（外函数）

导数的几何意义

导数的几何意义

导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率

直线的点斜式方程

直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：

用导数判断原函数的单调性

设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

判别是极大（小）值的方法

当函数在点处连续时，

（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

冲刺训练

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一、单选题

1．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（????）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.

【详解】由题意得，

过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，

则，即，

由于，故，，

由题意可知为的两个解，

故，

故选：D

2．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将题意转化为与存在两个交点，令，对求导，令或者，求出斜率为的切线方程，即可求出两条切线在轴上的截距，可得实数的取值范围.

【详解】解析：由可知，即与存在两个交点，

令，则，

令，解得：，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

令，解得，

则在处的切线方程为；

令，解得，则在处的切线方程为，

所以与的图象如下表：

??

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.

故选：A.

3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数与的图象有交点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】转化为在时有解，令，利用导数判断单调性可得答案.

【详解】因为函数与的图象有交点，

所以在时有解，，

令，，

令，

，

因为，所以，可得，

故在上单调递增，又，

所以当时，即，在单调递减，

当时，即，在单调递增，

所以.

故选：B.

4．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知?x?表示不超过x的最大整数，x?m为函数（x?1）的极值点，则f??m???（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导函数，令，，求导从而可确定的零点取值情况，即可得函数的极值点的估计值，从而可求f??m??．

【详解】函数，，则

令，

则，所以在上单调递增，

因为，

所以，函数存在唯一零点．

,

单调递减

单调递增

所以是函数的极小值点，即，．

故选：A．

5．（2023·重庆巴南·统考一模）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】因为偶函数满足，则，即，

所以，函数是周期为的周期函数，

当时，，令，可得.

由可得，由可得.

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

因为关于的不等式在上有且只有个整数解，

则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：

??

因为，且，

又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，

则这五个整数解分别为、、、、，

所以，，即，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.

6．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切圆的半径.

【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，

所以圆锥的体积，

令（），则，

所以，

则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为，

设圆锥的内切球半径为，圆锥的截面如图所示,

则，，，

因为∽，所以，，解得,

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.

7．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，，，恒成立，则