2024福建中考数学二轮专题训练 题型一 尺规作图 (含答案).docx

2024福建中考数学二轮专题训练题型一尺规作图

典例精讲

例如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＋DC＝BC.

(1)在AD上作一点E，使BE⊥EC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)求证：△ABE∽△DEC.

【思维教练】要满足AD上一点E使BE⊥EC，则点E在以线段BC为直径的圆上，作BC垂直平分线找到线段BC中点，再根据圆内半径相等即可作出点E；根据一线三垂直可判断角度关系，即可证相似．

例题图

针对训练

1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°.

(1)请用尺规作图法，过点A作BC的垂线，交BC于点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若AC＝3，AB＝4，求△ABD的周长．

第1题图

2.如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为DC中点．

(1)在BD上作一点F，使得△DCF∽△DBE；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接AF，若正方形ABCD的边长为2，求△ADF的面积．

第2题图

3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点E为AC中点．

(1)在AC下方求作一点D，使得DE⊥AC，∠DAE＝∠BCA；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接CD，若AD＝1，sin∠DAE＝eq\f(2,3)，求eq\f(CD,CB)的值．

第3题图

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点P，△PAB与△PDC的面积比为1∶4.

(1)过点P作直线MN分别交AD、BC于点M、N，使BN＝eq\f(1,2)NC，AM＝eq\f(1,2)MD；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)若AB＝1，求MN的长．

第4题图

5.如图，已知点A、C分别是∠B两边上的定点．

(1)求作：线段CD，使得DC∥AB，且CD＝AB，点D在点C的右侧；(要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)

(2)M是BC的中点，求证：A，M，D三点在同一直线上．

第5题图

6.如图，△ABC为直角三角形，点O为AC中点．

(1)求作四边形ABCD，使得AD∥BC，且AD＝DC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)求证：△DAC∽△OBC.

第6题图

参考答案

例(1)解：如解图所示，点E即为所求；

例题解图

(2)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，

∴∠BAD＝∠CDA＝90°，

∴∠ABE＋∠AEB＝90°.

又∵BE⊥EC，即∠BEC＝90°，

∴∠AEB＋∠DEC＝90°，

∴∠ABE＝∠DEC，

∴△ABE∽△DEC.

1.解：(1)如解图，直线AD即为所求；

第1题解图

【作法提示】如解图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq\f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，线段AD即为所求．

(2)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，

∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(42＋32)＝5.

∵cos∠ABD＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(4,5)，

∴BD＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(16,5)，

∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(42－（\f(16,5)）2)＝eq\f(12,5)，

∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝eq\f(48,5).

2.解：(1)如解图，点F即为所求；

(2)如解图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，

∴AD＝BC＝CD＝2，DE＝1，

∴BD＝2eq\r(2)，AH＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).

∵BD为正方形ABCD的一条对角线，

∴∠ADF＝∠CDF，

在△ADF和△CDF中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,∠ADF＝∠CDF,DF＝DF))，

∴△ADF≌△CDF.

∵△DCF∽△DBE，

∴△ADF∽△BDE，

∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(AD,BD)，

∴DF＝eq\f(AD·DE,BD)＝eq\f(2×1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，

∴S△ADF＝eq\f(1,2)DF·AH＝eq\f(1,2).

第2题解图

3.解：(1)如解图，点D即为所求；

(2)∵点E为AC中点，DE⊥AC，

∴直线DE为AC的垂直平分线，

∴DA＝DC＝1.

∵AD＝1，sin∠DAE＝eq\f(2,3)，

∴DE＝eq\f(2,3)，

∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(\r(5),3)，

∴AC＝eq\f(2\r(5),3)，

由(1)作图可