高中数学课件：3《3-2-1双曲线及其标准方程》0.pptx

湖南省名师网络工作室精品课

3.2.1双曲线及其标准方程

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市星雅实验中学

年级：高二年级

主讲人：欧阳博文

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3.2.1双曲线及其标准方程

学科：数学(人教A版)

学校：星雅实验中学

年级：高二年级

主讲人：欧阳博文

前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程.

本节课我们将学习第二种圆锥曲线——双曲线.双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.

本节我们将类比椭圆的研究过程与方法研究双曲线的有关问题.

数学|高二

情境引入

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问题探究

探究1:双曲线的轨迹及定义

我们知道，平面内与两个定点F,F₂

的距离的和等于常数(大于|F;F₂|)的点

的轨迹是椭圆.

一个自然的问题是：平面内与两个

定点的距离的差等于常数的点的轨迹

是什么?下面我们先用信息技术探究

一下.

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在直线l上取两个定点A,B,P是直

线l上的动点，在平面内，取定点F₁,F₂,以点F₁为圆心、线段PA为半径作圆，再以F₂为圆心、线段PB为半径作圆.

当点P在线段AB上运动时，

如果|PA|-|PB||F₁FZI|AB|,

那么两圆相交，其交点的轨迹是什么呢?

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在直线l上取两个定点A,B,P是直线l

上的动点，在平面内，取定点F₁,F₂,以点F₁为圆心、线段PA为半径作圆，再以F₂为圆心、线段PB为半径作圆.

如图，在|AB|F₁F₂KIPA|+|PB的条件下，让

点P在线段AB外运动，这时动点满足什么几何条件?两圆的交点的轨迹又是什么形状?

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我们发现，在|F;F₂||AI的条件下，

点P在线段AB外运动时

(1)当点M靠近定点F₁时

|MF₂l-|MF₁|=|AB|;

(2)当点M靠近定点F,时，

|MF₁|-|MF₂|=|AB|.

总之，点M与两个定点F,F距离的差的绝对值

|AB|是个常数(|AB||F₁F₂I).这时，点M的轨

迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.

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概念生成

双曲线定义：一般地，我们把平面内与两个定点F,F₂的

距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F₁F|)的点

的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，

两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

注意：

I|MF₁l-|MF₂I|=2a

1.必须在同一平面内

2.两个定点——两点间的距离确定

3.定长——轨迹上任意的点

到两个定点的距离之差的绝对值确定

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双曲线

两条射线

不存在

辨析

(1)已知A(-3,0),B(3,0),点M到

A,B两点的距离之差的绝对值为5,则点M的轨迹是什么?

(2)已知A(-3,0),B(3,0),点M到

A,B两点的距离之差的绝对值为6,则点M的轨迹是什么?

(3)已知A(-3,0),B(3,0),点M到A,B两点的距离之差的绝对值为10,则点M的轨迹是什么?

(4)已知A(-3,0),B(3,0),点M到A,B两点的距离之差为0,则点M的轨迹是什么?

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AB的中垂线

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结论

(1)若|MF|-|MF₂II|FF2I,

点M轨迹为双曲线.

(2)若||MF|-|MF2|=|FF2I,

点M轨迹为两条射线.

(3)若||MF₁|-|MF₂II|F,FZ|,

点M轨迹不存在.

(4)若||MF₁|-|MF₂I|=0,

点M轨迹为线段AB中垂线.

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探究2:双曲线的标准方程

问题2:类比求椭圆标准方程的过程，如何用坐标法来

探究双曲线的标准方程?

追问：求轨迹方程的步骤是什么?

求轨迹方程的流程---------建、设、限、代、化

我们画出的双曲线，发现它也具有对称

性，而且直线F₁F2是它的一条对称轴。

(一)建立平面直角坐标系

我们取经过两焦点F₁和F₂所

在的直线为x轴，线段F₁F₂的

垂直平分线为y轴，建立如图

所示的平面直角坐标系Oxy.

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设双曲线的焦距|F₁F₂I=2c,双曲线上的点与两定点

的