高中数学课件：3《3-1-2椭圆的简单几何性质第一课时》0.pptx

湖南省名师网络工作室精品课

椭圆的简单几何性质(第一课时)

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市南方中学

年级：高二年级

主讲人：张旭艳

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椭圆的简单几何性质(第一课时)

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市南方中学

年级：高二年级

主讲人：张旭艳

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引入新课

与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性

质一样，对圆锥曲线的几何性质研究的基本思路与方

法也是先“形”后“数”。本章我们在观察圆锥曲线

图形的形状和特征的基础上先提出猜想，再通过曲线

的标准方程进行计算和推理。

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可

以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。所以，本

章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他

特性等方面研究它们的几何性质.

下面，我们用椭圆标准方；程章+=1(ab

0)来研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状

、大小、对称性和特殊点等.

数学|高二

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动手操作

在一个正方形纸板中剪出一个最

大的圆，这个问题比较简单。如果有

一张长为20cm,宽为10cm的矩形纸

片，你能剪出一个最大的椭圆吗?

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探究椭圆的简单几何性质

探究1:观察椭圆

状，你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

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思考1:通过刚才的动手操作及观察下列图形，容易看出

椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程(代数方法)确定出它的具体边界吗?

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由方：程+=1(ab

0),可知=1-x≥0,

所以，椭圆上点的横坐标都适合

不等式式≤1,即-a≤x≤a.

同理.有≤1,即-b≤y≤b.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框里.

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想一想：椭圆具有怎样的对称性?

思考2:观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称

图形，又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对

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称性?

在椭圆的标准方程b0)中，以-y代y,方程不变.这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P₁(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.

同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P₂(-x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.

以-x代x,以-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P₃(-x,-y)也在椭圆上，所以

椭圆关于原点对称.

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综上，椭圆关于x轴、y轴、原点都是对称的.这

时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中

心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

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研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.

思考3:你认为椭圆

点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标?

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在椭圆的标准方；1(ab0)中，

令x=0,得y=±b.因此B₁(0,-b),B₂(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.

同理，令y=0,得x=±a.因此

A₁(-a,0),A₂(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称

轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.

线段A₁A₂,B₁B₂分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和

短半轴长.

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建筑上扁管比圆管更有优势，那么你知道到

底该选择圆扁程度多大的椭圆更合适吗?

扁管/圆管对比

扁管的优势：

可降低回填高度，扁管高度比圆管低节省地面空间，适合各种地漏位置。

地面开槽后可直接贴地砖

地面

地面开槽后需要混泥土填充

地面

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探究2:观察下列的两幅图，你有什么发现?

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思考4:扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?

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椭圆半轴长为a,半焦距为c.通过刚才的动画演示，我们发现

保持长半轴长a不变，改变椭圆的半

焦距C