高中数学课件：1-4-1-2空间直线平面的平行.pptx

我们知道，直线的方向向量和平面的法问量是确定空间中的直线

和平面的关键量.

那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系

》空间中直线、平面的平行

呢?

》空间中直线、平面的平行

思考由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，

可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?

l₁l₂

如图，设u₁,u₂分别是直线l₁,l₂的方向向量uyU₂

3λ∈R,使得u₁

=λu₂

u₁Ⅱu₂

l₁Il₂

n

a

类似地，如图，设u是直

线l的方向向量，n是平面α的法向量，l≠α则

llα⇔u⊥n⇔u·n=0

如图，设n₁,n₂分别是平

面α,β的法向量，则

α|lβ⇔n₁lln₂⇔3λ∈R,

使n₁=λn₂

》空间中直线、平面的平行

β

In₁

72

n₂

a

u

》例题精讲

例1:证明“平面与平面平行的判定定理”:若

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

已知：如图，aCβ,bcβ,a∩b=P,al/a,b//a.

求证：a//β.

》例题精讲

证明：如图，取平面α的法向量n,直线a,

b的方向向量u,v.

因为a//α,b//α,

所以nu=0,n·v=0.

因为aCβ,bcβ,a∩b=P,

所以对任意点Q∈β,存在x,y∈R,使得

PQ=xu+yv.

从而n·PQ=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0.

所以，向量n也是平面β的法向量.故α//β.

》例题精讲

例2:在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3,AD=4,AA

=2,点M在棱BB₁上，且BM=2MB₁,点S在DD₁上，且SD=2SD,点N,R分别为A₁D₁,BC的中点，

求证：MN//RS.

》例题精讲

变式2:在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3,AD=4,AA₁

=2,点M在棱BB₁上，且BM=2MB₁,点S在DD₁上，且SD

=2SD,点N,R分别为A₁D₁,BC的中点，

求证：MN//RS.

法2:如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题

意得M,N(0,2,2),R(3,2.0),,

MN=(-3,2,2),RS=(-3,2,2)∴MN=RS,:MNIRS,

又M≠RS,∴MNIIRS

的中心，求证：EF//平面ACD₁.

证明：设正方体的棱长为2,以D为坐标原点，BA,DC,DD1,的方向分

别为x轴，y轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz,则根据题意A(2,0,0),C(0,2,0),D₁(0,0,2),E(2,1,1),F(1,1,2)

所以EF=(-1,0,1),AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2),

设n=(x,y,z)是平面ACD₁的一个法向量，则n⊥AC,n⊥AD1.

所以

取x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1)

又EF·n=(-1,0,1)-(1,1,1)=-1+1=0,所以EF⊥n,

所以EF//平面ACD₁.

》例题精讲

例3:在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

中，E,F分别是面AB₁,面A₁C₁

方法三

先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

(

方法二

证明直线的方向向量与平面内某一向量共线转化为线线平行利用线面平行判定定理得证.

方法一

证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.

》空间中直线、平面的平行

利用空间向量证明线面平行的三种方法

》例题精讲

例4:如图所示，平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，

△PAD是直角三角形，且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证：平面EFG//平面PBC.

D

证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形，△PAD是直角三角

形，且PA=AD,所以AB,AP,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,

AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).FG=(1,1,-1),BC=(0,2,0)