高中数学课件：3《1-3-1空间直角坐标系》0.pptx

湖南省名师网络工作室精品课

1.3.1空间直角坐标系

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市九方中学

年级：高二年级

主讲人：吴丰田

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1.3.1空间直角坐标系

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市九方中学

年级：高二年级

主讲人：吴丰田

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复习回顾

问题1:什么是空间向量基本定理?

定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么

对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实

数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，

a,b,c都叫做基向量.

高二举绥|数学二

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追问1:什么是空间向量的正交分解?

什么是单位正交基底?

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做

把空间向量进行正交分解.

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互

相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，

常用{i,j,k}表示。

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问题2:回顾平面向量的学习，我们如何表示

平面内一个向量的坐标呢?

(1)取基底：在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴正方

向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.

(2)得到实数对：任作一个向量d,由平面向量基本

定理，有且只有一对实数x、y,使得d=xì+yj.我

们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y).

数学|高二

则OA终点A的坐标(x,y)叫做向量a的坐标.

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问题3:类比平面直角坐标系，如何建立空间

直角坐标系?

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,

k},以点O为原点，分别以i,j,k的方向为x轴、y

轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-

xyz.

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新知探究

高二举绥|数学二

点O叫做原点，向量i,j,k都叫做坐标向量.

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.

它们把空间分成八个部分.

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空间直角坐标系的画法

①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，用斜二测画

法绘制xoy平面，一般使∠xOy=135(或45),z轴垂

直与xoy平面且∠yOz=90°.

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②建系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴

的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴

的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系.

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问题4:在空间直角坐标系Oxyz中，对空间中的任意一

点A,或任意一个向量OA,你能确定它们的坐标吗?

在空间直角坐标系Oxyz中，

i,j,k为坐标向量，对空间任

意一点A,对应一个向量OA,

且点A的位置由向量OA唯一确

定，由空间向量基本定理，存

在唯一的有序实数组

(x,y,z),使

OA=xi+yj+zk.

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在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序

实数组(x,y,z),叫做点在空间直角坐标系中的坐

标，记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，y叫

做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

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问题5:如何表示空间直角坐标系中任意一个向

量a的坐标?

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量

a,作OA=a(如图),由空间向量基本定理，存

在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.

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有序实数组(x,y,z),叫做a在空间直角坐标系

Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z).

也就是说，以O为起点的有向线段(向量)的坐

标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系，从

而互相转化.

注：(x,y,z)具有双重意义，既可以表示向量，

也可以表示点，在表述时注意区分.

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过点A分别作垂直于x轴，y轴，z

轴的平面，分别交x轴，y轴，z轴于点B,C,D,可以证明OA在x轴，y

轴，z轴上的投影向量分别为

OB,OC,OD.

设点B,C和D在x轴，y轴，z轴上的坐标分别为x,y,z,

则A的坐标为