高中数学课件：1-4-2-1用空间向量研究距离.pptx

空间向量的应用

1.4.2用空间向量研究距离问题

我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢?下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线的距离.

探究

已知直线的单位方向向量为u,A是直线1上的定点，P是直线1外一点.

如何利用这些条件求点P到直线的距离.

如图1.4-16,向量AP在直线l上的投影向量为AQ,则△APQ是直角三角

形.因为A,P都是定点，所以AP,AP与u的夹角∠PAQ都是确定的.

于是可求AQ.再利用勾股定理，可以求出点P到直线的距离PQ.

设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量

AQ=(a·u)u.

思考：

类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离?

在Rt△APQ中，由勾股定理，得

我们再来看平面α外一点P到平面α的距离问题。

已知平面a的法向量为π,A为平面α内的定点，P是平面α外一点。过点

P作平面a的垂线l,交平面a于点Q,则n是直线的方向向量，且点P到平面a的距离就是AF在直线l上的投影向量的长度，因此：

这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平

面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的投影的绝对值.

思考：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面

的距离、平面到平面的距离?

两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线

上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离.

高中数学选择性必修第一册RJ·A

典例剖析

例1如图1.4-18,在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线

段A₁B的中点，F为线段AB的中点。

(1)求点B到直线AC₁的距离；

(2)求直线FC到平面AEC₁的距离。

Ea,,0),,所以AB=(0,1,0),AC;=(-1,1,-1),

.0),,,0)

(1)取a=AB=(0,1,0),

则a²=1,

所以点B到直线AC₁的距离为

解：以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,1),Bd,1,I),C(O,1,1),C(O,1,0),

2

取z=1,则x=1,y=2.所以，n=(1,2,1)是平面AEC的一个法向量.

又因为,所以点F到平面AEG的距离为

0),所以FC//EC,所以FC//平面AEC.所以点F到

即为直线FC到平面AEG的距离.

(2)因为

平面AEC的距离

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

即直线FC到平面AEG的距离为

.所以

所以

则

(1)建立立体图形与

(2)通过向量运算，

(3)把向量运算的结

空间向量的联系，

研究点、直线、平

果“翻译”成相应的

用空间向量表示问

题中涉及的点、直

面之间的位置关系

以及它们之间的距

几何结论.

线、平面，把立体几

何问题转化为向量

离和夹角等问题；

问题；

与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:

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1.如图，已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,

且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

反思感悟用向量法求点面距的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐