高中数学课件：1-4-2第1课时用空间向量研究距离问题.pptxVIP

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了二

高中数学

选择性必修第一册RJA

坼

7

1.4空间向量的应用

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时用空间向量研究距离问题

课前预习课中探究备课素材

探究点一点到直线的距离

探究点二点到平面的距离

探究点三线面距和面面距

录

S

T

N

E

T

N

O

C

【学习目标】

1.借助直线的方向向量和平面的法向量，能计算点到直线的距离、点到平面

的距离，并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离.

2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题，体会向量方法与综合几何方法

的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具.

1.点到直线的距离

如图1-4-18,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线

上的定点，P是直线l外一点，设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定

理，得

课前预习

◆知识点用空间向量研究距离问题

图1-4-18

课前预习

2.点到平面的距离

如图1-4-19,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的

定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此

图1-4-19

课前预习

3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、

平面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和

夹角等问题；

(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.

课前预习

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量AB的

长度.(×)

(2)若直线l//平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距

离.(√)

(3)若平面α//平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平

面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离.(√)

课中探究

◆探究点一点到直线的距离

例1(1)在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴的对称点为点B,则点

C(3,0,1)到直线AB的距离为(C)

A.2√3D.6

[解析]由题意，知B(-1,2,-3),AB=(-2,0,-6),取直线AB的一个单位方向

向量为,AC=(2,-2,-2),则点C到直

线AB的距离

故选C.

课中探究

(2)如图1-4-20,在空间直角坐标系中有长方体

ABCD-ABCD′,|AB|=1,|BC|=2,|AA=3,

点B到直线AC的距离.

图1-4-20

求

所以A(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),

所以直线AC的方向向量A℃=(1,2,-3)

又BC=(0,2,0),所以BC在直线AC上的投影向量的长度为

课中探究

解：因为|AB|=1,|BC|=2,|AA|=3,

点B到直线AC的距离

1FhFIL

课中探究

变式如图1-4-21,三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长都为

2,且∠A₁AC=60°,平面A₁ACC₁⊥平面ABC,点P,Q

分别在AB,A₁C₁上，且AP=A₁Q.

(1)求证：PQ//平面B₁BCC₁;

图1-4-21

∴四边形C₁QPD为平行四边形，

∴PQ//C₁D.∵PQ≠平面BCC₁B₁,且C₁Dc平面BCC₁B₁,

∴PQ//平面BCC₁B₁·

课中探究

证明：如图，作PD//AC,交BC于点D,则由A₁Q=AP,

即PD=BP=QC₁,∴PD//QC₁且

得B