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初中数学——方程思想解题实例

方程思想解题实例

一、知识梳理

方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。

二、课堂案例讲练

几何中的方程思想

在几何中建立等量关系的常用方法有

eq\o\ac(○,1)利用勾股定理建立等量关系；

eq\o\ac(○,2)利用图形中的线段相等建立等量关系；

eq\o\ac(○,3)利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。

eq\o\ac(○,4)利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式

（一）利用勾股定理建立等量关系

例1如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，求EC的长．

解析：想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长

解：设EC的长为xcm，

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∵△ADE折叠后的图形是△AFE，

∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．

∵AD=BC=10cm，

∴AF=AD=10cm．

又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2

∴82+BF2=102

∴

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∴FC=BC-BF=10-6=4cm．

在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2

∴42+x2=（8-x）2，即16+x2=64-16x+x2，

化简，得16x=48．

∴x=3．

故EC的长为3cm．

前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.

课堂训练：

1.有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8，若将两张纸片交叉重叠，则得到重叠部分面积最小是

______

，最大的是_________.

2.动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）．

（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？

（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？

（二）利用三角形相似的性质建立等量关系

例1：有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？

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前思后想：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；

（2）也可根据△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA来解答．

课堂训练：

1.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？

下面是小明的解题过程：

“如图，连接AA′，BB′，因为AO=A′O，BO=B′O，所以．又∠1=∠2，所以△AA′O∽△BB′O，有，因为AO=1.25，BO=16.5，AA′=0.85，所以，解得BB′=11.22，即长臂端点B升高了11.22m”．

你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．

初中数学

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2．如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．

3.如图3，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每