高中数学课件：3《1-3-2空间向量运算的坐标表示》0.pptx

湖南省名师网络工作室精品课

1.3.2空间向量运算的坐标表示

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市第十三中学

年级：高二年级

主讲人：龚颖雯

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1.3.2空间向量运算的坐标表示

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市第十三中学

年级：高二年级

主讲人：龚颖雯

平面向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

设a=(q,a₂),b=(b,b₂),

a+b=(a₁+b,a₂+b₂),

a-b=(a=b),a₂=b₂),

λa=(Aa,λa₂),λ∈R,

a·b=a₁b+a₂b₂.

设a=(a₁,a₂,a₃),b=(b,b₂,b₃),

a+b=(a₁+b,a₂+b₂,a₃+b₃),

a-b=(q=b,a₂=b₂,a₃=b₃),

λa=(λa,λa₂,λa₃),λ∈R,

a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₂.

复习回顾、类比探究

问题1有了空间向量的坐标表示，你能类比平面

向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示

吗?

数学|高二

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下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.

设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底，

则a=a₁i+a₂j+a₃k,b=bi+b₂j+b,k,

所以a·b=(qi+a₂j+a₃k)·(bi+b₂j+b,k)

=a,bi·i+ab₂i·j+ab₃i·k+a₂bj·i+a₂b₂j·j+a₂bj·k

+a₃bk·i+a₃b₂k·j+a₃b₃k·k.

因为i·i=j.j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0,

所以a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃.

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问题2平面向量的坐标运算可以帮助我们解决

平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题。

空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解

决这些问题?

设a=(x₁,xz₂),b=(y₁,y₂),点A(a₁,a₂),点B(b₁,b₂)

设a=(x₁,xz,x₃),b=(y₁,y₂,y₃),点A(a₁,a₂,a₃),

点B(b₁,b₂,b₃)

数学|高二

平面向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

a//b

a=λb(b≠0,λ∈R)

(xj,x₂)=λ(y₁,y₂)

⇔y₂-x₂y₁=0

a=λb(b≠0,λ∈R)

(xj,x₂,x₃)=λ(y₁,y₂,y₃)

a⊥b

a·b=0

⇔xy₁+x₂y,=0

a·b=0

⇔xy₁+x₂y₂+x₃y₃=0

如何用空间向量的坐标运算刻画空间向量的

平行和垂直?

数学|高二

平面向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

laF√x²+x₂²

|aF√x²+x²+x₃²

AB|=√(a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²

|AB|=√(a₁-b)²+(a₂-b₂)²+(a₃-b₃)

能否用空间向量的坐标表示长度和夹角?

数学|高二

间两点间的距离公式吗?

如图，建立空间直角坐标系Oxyz,

设P(x₁,yj,z),P₂(x₂,y₂,z₂)是空间中任意两点，

则PR=OR-OF=(x₂-x₁,y₂-yy,z₂-z₁)

于是|PR|=√RR-PR

=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z)².

所以PR=|PR|=√(C₂-x)²+(y₂-y)+(₂-z)

问题4:你能利用空间向量运算的坐标表示推导空

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数学|高二

例1.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,E,F

分别是BC,BB,D₁B的中点，

且该正方体的棱长为1.

(1)求证：EF⊥DA₁.

(2)求AM的长.

(3)求BE₁与DF₁所成角的余弦值.

AB

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(1)求证：EF⊥DA₁;(2)求AM的长.

思考：

1.如何用向量刻画两条直线垂直?

EF⊥DAEF⊥DAEF.DA₁=0

如何建立空间直角坐标系?

2.怎样求空间中一条线段的长度?

空间中两点间距离公式

思考：3.怎样求空间中两条直线

的夹角?

数学|高二

两条直线的夹角与两向量的夹角有什么区别吗?

直线夹角的范围[0°,90]

向量夹角的范围「0°,180]

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思考：3.怎样求空间中两条直线所成角?

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思考：3.怎样求空间中两条直线的夹角?

θ+a,