高中数学课件：4-3-2等比数列的前n项和公式第二课时.pptx

则a₇+ag+a₉=?S,S₀-S,S₉-S₆

解法1:

a₁+a₁q+a₁q²=3|S6-S₃

aq³+a₁q⁴+a₁q⁵=24(2)

(2)可得q²=8,q=2

(1)S,-S₆将q=2代入(1)式可得a₁=7

a₇+a₈+a₉=192

成等比数列

解法2:S₃

a₁+a₂+a₃(1)

d₄+a₅+a₆=q³(a₁+a₂+a₃)(2)

g+ag+a₉=q³(a₄+a₅+a₆)(3)

典例分析

例3已知等比数列x,}a₁+a₂+a₃=3,a₄+a₅+a₆=24,

a₇+ag+a₉=192

两式相除：实现整体消元的目的

典例分析

例4已知等比数列a,}的公比q≠-1,前n项和为S,证明：

S,S₂-S,S₃-S₂,成等比数列，并求这个数列的公比证明：当q=1时，

S=na₁

S₂n-S=2nq₁-na₁=na,

S₃n-S₂=3na₁-2na₁=na,

∴S,S₂n-S,S₃n-S₂成等比数列，公比为1

∵q”为常数，

∴S,S₂n-S,S₃n-S₂

成等比数列，公比为”

当q≠1时，

2.等比数列求和要考虑公比是否为1.

3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.

4.等比数列的片段和性质：

若等比数列{a,}的公比q≠-1,前n项和为S,,

则S,S₂-S,S₃n—S₂成等比数列，其中公比为q”.

消元方法：

约分或两式相除

1.等比数列前n项和公式：

复习引入

探究新知

思考：你能发现等比数310项和公式8一“1-9”g≠)的函数特征吗?

当q≠1时，

设,则S=Af-A.即S,是n的指数型函数。

当q=1时，S=na,即S,是n的正比例函数.

例1数列{a,}的前n项和S=3-2.求{a,}的通项公式，并判断{a,}是否是等比数列.

解：当n≥2时，a,=S-S-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2.3n-1.当n=1时，a₁=S₁=31-2=1,不满足上式.

由于a₁=1,a₂=6,a₃=18,

所以a,a₂,a₃不是等比数列，即{a,}不是等比数列.

典例分析

(1)若等比数列{a,}的项数有2n项，则

S偶=a₂+a₄+…+a₂n

S奇=a₁+a₃+…+a₂n-1二S偶=

(2)若等比数列{a,}的项数有2n+1项，则

S偶=a₂+a₄+…+a₂n

S奇=a₁+a₃+…+a₂n-1+a₂n+1

=a₁+(a₃+…a₂n-1+a₂n+1)

=a₁+q(a₂+a₄+…+a₂n)

=a₁+qS偶

探究新知

奇

奇

偶

偶

例2已知等比数列{a,}共有2n项，其和为一240,且(a₁+a₃+…+

a₂n-1)-(a₂+a₄+…+a₂n)=80,求公比q.

解：由题意知S奇+S偶=—240,S奇一S偶=80

∴S奇=—80,S偶=—160,

变式：若等比数列{a,}共有2n项，其公比为2,其奇数项和比偶数

项和少100,则数列{a,}的所有项之和为.300.

典例分析

例3如图，正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.

(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；

(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?

典例分析

所以，前10个正方形的面积之和

(2)当n无限增大时，S,无限趋近于所有正方形的面

积和a₁+a₂+a₃+…+an+…

随着n的无限增大，将趋近于0,Sn将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

设{an}的前项和为Sn.

例4去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).

分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量

构成等比数列，而每年以环保方式处理的

垃圾量构成等差数列.因此