高中数学课件：4-4数学归纳法 (1).pptx

我是

二毛

我是

三毛

我是谁?

猜：四毛!

从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法

情景引入

我是一毛

不完全归纳：

问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖?

把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.

a

(1)求出数列前4项，你能得到什么猜想?

a₁●1=a₂=1a₃=1→a₄1猜想)

(2)你的猜想一定是正确的吗?

逐一验证，不可能!!!

思考：能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立?

不完全归纳法

a,●1(nN*)

完全归纳法

探究新知

我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放

骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

情景引入

探究新知

思考1:在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

思考2:你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言描述它?

条件(2)实际上是给出了一个递推关系.

数学语言：第k块骨牌倒下一第k+1块骨牌倒下

结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.

探究：已知数列(a₂}满足a₁=1,,计算az,a₃,a₄,猜想其通项公式，并证明你的猜想.

解：由a₁=1,计算可得a₂=1,a₃=1,a₄=1.

由此可猜想：an=1.

证明：(1)当n=1时，a₁=1显然成立.

(2)假设n=k时，结论成立，即ak=1.

当n=k+1时，

即当n=k+1时，结论也成立.

由(1)(2)可知，an=1对任何n∈N*都成立.

探究新知

探究新知数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n=n₀(n₀∈N)时命题成立；

(2)归纳递推：以“当n=k(k∈N*,k≥n₀)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1_时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整

数n都成立.

这种证明方法称为数学归纳法.

思考：数学归纳法的第一步n₀的初始值是否一定为1?

不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n₀=3.

若n=k(k≥no)时命题成立，

证明n=k+1时命题也成立归纳递推

验证n=no时命题成立

归纳奠基

命题对从n₀开始所

有的正整数n都成立

数学归纳法的框图表示：

探究新知

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可.(×)(2)数学归纳法证明3“≥n²(n≥3,n∈N”),第一步验证n=3.(√)

(3)设,则

(×)

小试牛刀

例1用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么

满足an=a₁+(n-1)d对任何n∈N*都成立.

证明：(1)当n=1时，左边=a₁,右边=a₁+0×d=a₁,命题成立.

(2)假设当n=k(n∈N)时，等式成立，即

即当n=k+1时，等式也成立.

由(1)和(2)可知，an=a₁+(n-1)d对任何n∈N*都成立.

ak=a₁+(k-1)d

那么k+1=aμ+d=[a₁+(k-1)d]+d

归纳假设

=a₁+kd=a₁+[(k+1)-1]d

典例分析

目标

用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：

(1)证明当取第一个值n₀(例如n₀=1或2)时结论正确；

基础性

(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n₀)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

据(1)和(2)可知命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确.

结论

口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

探究新知

使用前提

传递性

即当n=k+1时，等式也成立.

由(1)和(2)可知，等式对任何n∈N·都成立.

2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即

证明：(1)当n=1时，等式左边=1²=1,

典例分析

目标

例3已知数列{an}满足a₁=0,2an+1-QnQn+1=1(n∈N),