高中数学课件：4-3-1等比数列的概念2.pptx

复习引入

1.等比数列

符号语言：或

2.通项公式

a=a₁q-1→an=amq”-m

3.等比中项

4.等比数列的判断

证明

→G²=a·b,即G=±√ab

a,G,b成等比数列

(1)若m+n=p+q,则a·a₄=a,·a₂(m,n,P,q∈N)

即：下标和相等，对应项的积相等

特别地，若m+n=2k,则an·a₄=a²(m,n,k∈N*)

⇔若m,n,k,(m,n,k∈N*)成等差数列，则a,,a,a₄

(1)若m+n=p+q,则am+a=a,+a,(m,n,P,q∈N)

即：下标和相等，对应项的和相等

在等比数列{a,}中，公比为q

在等差数列{a,}中，公差为d

注意：等号两侧的项数必须相同

特别地，若m+n=2k,则am+a=2a₄(m,n,k,∈N)

探究新知

成等比数列.

(2)在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项

之积等于首末两项的积

即：a₁·a₄=a₂·a₂=…=a₄·an-k+1=…

(2)在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项

之和等于首末两项的和

即：q₁+a,=a₂+a-=…=a+a-k+1=…

等差数列：

探究新知

d₁

a₃

as

a₇

9

2

4

8

16

±√2

50

2

0.08

0.0032

0.2

2.已知等比数列{a,}中，a₁a₃=36,a₂+a₄=60.求a₁和公比q.

a₁=2,q=3或a₁=-2,q=-3

1.已知{a,}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.

小试牛刀

3.已知{a,}是等比数列，且a0,a₂a₄+2a₃a₅+a₄G₆=36,

那么a₃+a₅的值等于.6

4.设数列{a,}是等比数列，且a₅·a₆=81,则

log₃a₁+log₃a₂+……+log₃a₀=20

5.等比数列{a,}中，a₄G₇=-512,a₃+ag=124,

公比为整数，则a₁₀=512

小试牛刀

月初本金

月末本利和

1个月

104

104(1+0.400%)

2个月

104(1+0.400%)

10⁴(1+0.400%)²

3个月

104(1+0.400%)2

10⁴(1+0.400%)³

●●●

4

●

12个月

10⁴(1+0.400%)1110⁴(1+0.400%)12

例1用10000元购买某个理财产品一年.

(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到1元)?(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.(精确到10-5)

典例分析

例1用10000元购买某个理财产品一年.

(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到1元)?

解：(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an},

则{an}是等比数列.

首项a₁=10⁴(1+0.400%),公比q=1+0.400%

所以，a₁z=104(1+0.400%)¹2≈10490.97

所以，12个月后的利息为10490.97-10000≈491(元)

典例分析

例1用10000元购买某个理财产品一年.

(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.(精确到10-5)

解：设季度利率为r,这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn},则{bn}也是一个等比数列，

首项b₁=10⁴(1+r),公比q=1+r

所以，b₄=10⁴(1+r)⁴

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[10⁴(1+r)⁴-104]

解不等式[10⁴(1+r)⁴-104]≥491,得r≥1.206%

所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.

典例分析

元

例2已知数列{a₁}的首项a₁=3.

(1)若数列{an}为等差数列，公差d=2,证明数列{3⁴n}为等比数列；

(2)若数列{an}为等比数列，公比证明数列{log₃an}为等差数列.

分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列

an+1-an=d

“a=q

等差数列：

等比数列：

先求通项公式

典例分析

利用定义

所以{3an}是以27为首项，9为公比的等比数列

得{an}的通项公式为

两边取以3为底的对数，得log₃an=log

所以log₃an+1-log₃an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2

又log₃a₁=log₃3