高中数学课件：1-4-2用空间向量研究距离夹角问题第一课时.pptx

第一课时

设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，则

l//α⇔ü⊥n⇔i·n=0

1.空间中两条直线平行的判定

设u,u₂分别是直线l₁,l₂的方向向量

L₁I1l₂→u₁llu₂→3λ∈R,使得₁=λu₂

2.空间中直线与平面平行的判定

U个n

n,n₂分别是平面α,β的法向量，则

α//β→n₁//n₂→3λ∈R,使得n₁=λn₂

1⊥l⇔π⊥π=0

5.空间中直线与平面垂直的判定

设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，则

l⊥α⇔ulln⇔3λ∈R,使得u=λn→

UN

1

4.空间中两条直线垂直的判定

设u,u₂分别是直线1,I₂的方向向量，则

→

U₁

l₁

设平面a,β的法向量分别是n,n,则

α⊥β⇔n⊥n?⇔n·m=0

用向量研究距离问题

我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、

点到平面，两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。那么如何用空间向量解决这些问题呢?

探究：已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点，P是直线l外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离?

由勾股定理可得：PQ=√|APP-IAQP

设AP=a,则AQ=(a·u)·u

∵A、P都是定点，

∴|AP|、∠PAQ都是确定的

∴可以求出AQl

如图，AP在l的投影向量为AQ,则△APQ是直角三角形.

→

l

如图，α的法向量为n,A是α内的定点，P是α外的一点，

过P作a的垂线l,交α于Q,则n是l的方向向量，

AP在1上的投影向量QP的长度

|AP·nl

Inl

且P到α的距离就是

∴PQ=|AP

AP·n

nl

=1

图图

?

在空间中，两直线相交，定义它们之间的距离为零；

两直线平行，它们之间的距离可以转化为点到直线的距离；

图1,P∈l,l//a,A∈a,n⊥a.直线l到平面a的距离转化为点P到α的距离

图2,P∈β,β//a,A∈a,n⊥a.平面β到平面a的距离转化为点P到α的距离

PP

NβN

Q

Q

A

A

a

A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C₁(0,1,0),

,0,F(1,2,1)

:AB=(0,1,0,AC₁=(-1,1,-1),AE=(0,÷,-1),EC=(-1,²,0)

DTG=AE=(0.1.0,

所以点B到直线AC;的距离为

例6:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

E为线段A,B₁的中点，F为线段AB的中点

(1)求点B到直线AC₁的距离

(2)求直线FC到平面AEC的距离

解：以D,为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A

中，

设平面AEC,的法向量为n=(x,y,z)

取z=1,则n=(1,2,1)

例6:(2)求直线FC到平面AEC₁的距离

解：(2)因为∴FC//EC,,.FC/1平面AEC₁

所以点F到平面AEC₁的距离为直线FC到平面AEC₁的距离

所以直线FC到平面AEC,的距离

所以点F到平面AEC,的距离为

归纳：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表

示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置

关系以及它们之间距离和夹角等问题；

(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

3.点线距求解方法：

线线距实质上都是求点线距，

直线方向向量→点到直线点的向量→求点线距

4.点面距求解方法：

线面距、面面距实质上都是求点面距，

平面法向量→点到平面点的向量→求点面距

1.直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为

2.点P到平面α的距离为：

小结：

请看课本P35:练习1--3

1.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁C的

距离等于1,直线DC