高中数学课件：3-1-2第2课时直线与椭圆的位置关系.pptx

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了二

高中数学

选择性必修第一册RJA

坼

7

3.1椭圆

3.1.2椭圆的简单几何性质

第2课时直线与椭圆的位置关系

课前预习课中探究备课素材

探究点一直线与椭圆的位置关系

探究点二中点弦问题

探究点三生活中的椭圆问题

录

S

T

N

E

T

N

O

C

【学习目标】

1.由直线与椭圆的方程，利用代数方法解决直线与椭圆位置关系的相关问题.

2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题.

课前预习

◆知识点一直线与椭圆的位置关系

直线y=kx+m与椭圆的位置关系的判断方法：

由消去y,得到一个关于x的一元二次方程.

直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与△的取值的关系如下表所

示：

位置关系

解的个数

△的取值

相交

2

△0

相切

1

△=0

相离

△0

课前预习

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)已知椭圆与点P(b,0),则过点P可作出该椭圆的一条

切线.(×)

[解析]易知点P(b,0)在椭圆的内部，因此过点P作不出椭

圆的切线.

(2)直线y=k(x-a)与椭圆的位置关系是相交.(√)

[解析]易知直线y=k(x-a)恒过点(a,0),此点为椭圆的右顶点，且直线斜率存在，

故直线与椭圆相交.

课前预习

◆知识点二直线与椭圆的相交问题

解决椭圆中点弦问题的方法：

(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利

用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

(2)点差法：利用弦的端点在椭圆上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，

然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

已知椭圆上两点A(X₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₂≠x₁),AB的中点

为o),则有两式相减得

,即直线AB的斜率

课中探究

◆探究点一直线与椭圆的位置关系

例1对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆的位置关系.

解：由消去y,得5x²+8mx+4m²-4=0,

则△=(8m)²-4×5×(4m²-4)=16(5-m²).

当-√5m√5时，△0,直线与椭圆相交；

当m=-√5或m=√5时，△=0,直线与椭圆相切；

当m-√5或m√5时，△0,直线与椭圆相离.

课中探究

变式(1)若直线相切则k的值是(C)

A.1B.-1C.±1D.±

[解析]把代入,得(1+k²)x²+8kx+8=0,由题知

△=0,所以k²=1,所以k=±1.

点，则实数b的取值范围是(2,4)

[解析]直线y=kx+2恒过定点(0,2),要使直线与椭圆恒有两个公共点，则定点在椭圆内，∴0,·b2.∴椭圆的焦点在x轴上，∴b²16,∴b∈(2,4).

与焦点在x轴上的椭圆恒有两个公共

课中探究

(2)若直线y=kx+2

课中探究

[素养小结]

1.判断直线与椭圆的位置关系时，由直线方程与椭圆方程构成方程组，消去方程

组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

△0⇔直线与椭圆相交；

△=0⇔直线与椭圆相切；

△0⇔直线与椭圆相离.

2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外，还可利用直

线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”转化为“点与椭圆的位置关系”判断.

17x²+16mx+4m²-4=